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ele! cálculo no tendremos que resolver más que ecuaciones homogéneas de 
primero y de segundo grado; de donde resultará que cada una de aquellas lon¬ 
gitudes será, una función algébrica de los datos y de números enteros, homo¬ 
génea, de una dimensión, sin más radicales (oaso de tenerlos) que los' cuadrados 
o los reducidles a éstos, como los del grado 2”, y con radicandos positivos. Y como, 
recíprocamente, las expresiones de esta naturaleza son construíbles, se infiere que 
la condición necesaria y suficiente para que un problema planimétrico sea resolu¬ 
ble con la regla y el compás, es que las distancias incógnitas puedan expresarse 
mediante los datos, por una función como la que se acaba de indicar. De ordinario, 
los valores de las incógnitas no están expresados en forma explícita, sino dados 
implícitamente como raíces de una ecuación determinada; y se trata entonces 
de averiguar si esas raíces son expresadles por una función algébrica de los 
coeficientes, que no encierre otros radicales que los de segundo grado; y en ge¬ 
neral, cuáles son las ecuaciones que gozan de semejante propiedad. Cuestión es 
ésta que el Álgebra no pudo dilucidar mientras no alcanzó considerable desenvol¬ 
vimiento: además de las ecuaciones lineales y cuadráticas, sabíanse resolver, por 
Tartaglia, las ecuaciones cúbicas; por Ferrari, las cuárticas; y más moderna¬ 
mente, por Gauss, las binomias; pero, a principiois >, del siglo XIX, aun se ignoraba 
si tal resolución era posible, en general, al pasar del cuarto grado, hasta que 
Abel estableció la imposibilidad. Débese también a este insigne matemático el estu¬ 
dio de diferentes clases de ecuaciones que, por satisfacer a relaciones particulares 
entre sus coeficientes, son resolubles por radicales; pero el principal perfecciona¬ 
miento de esta teoría pertenece a Galois, quien penetró directamente hasta el fon¬ 
do de la cuestión, con su genial y fecundo concepto de los grupos de sustituciones, 
cuya teoría, proseguida desde luego por Cauohy, Kroenecker, Netto y Jordán, 
y después por Halplhen, Lie, Klein, Po-incare y otros, es hoy fundamentad en mu¬ 
chas partes del Análisis.. Gracias a los progresos realizados en la Teoría de ecua¬ 
ciones por el malogrado matemático, y concretándonos a los que guardan relación 
con las construcciones de la Geometría elemental (parte mínima de sus descubri¬ 
mientos) sabemos hoy que todas las ecuaciones irreducibles que pueden ser 
resueltas por radicales cuadrados, han de tener por grado una, potencia de 2; que 
esta condición, aunque necesaria, no siempre es suficiente; y que, cuando lo es, 
sus raíces se expresan con p radicales cuadrados diferentes (si el grado de la 
ecuación es 2 p ) y todas por una misma fórmula, cuyos diversos valores provie¬ 
nen del doble signo que posee cada radical. Conocemos también diversos métodos 
para llegar a la expresada fórmula; y en suma, podemos en todos los casos con¬ 
testar a la pregunta de si un problema constructivo (una vez planteado algébrica¬ 
mente) es resoluble con rectas y circunferencias; y en el caso de serlo, descubrir 
la solución, construyendo las expresiones incógnitas, suministradas por la ecua¬ 
ción correspondiente. 
Clasifícanse los problemas constructivos en algébricos y transcendentes, y 
los primeros por grados, según la naturaleza ele la ecuación irreducible de que 
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