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dependen. De lo expuesto, se infiere que son resolubles con el compás y la regla 
los problemas de primero y de segundo grado, pueden serlo los de cuarto, octa¬ 
vo, etc., pero no lo son nunca los de tercero, quinto, sexto, etc., ni los transcen¬ 
dentes. 
Cuando al investigar una construcción, no conseguimos descubrirla, pro¬ 
viene esto forzosamente, o de que andamos desorientados en la manera de ata¬ 
carla, o en que aquélla es de las que no pueden efectuarse con rectas y circun¬ 
ferencias. Para salir de dudas, siempre cabe el recurso de acudir al planteo al¬ 
gébrico, y analizar, según los métodos de Galois, la ecuación que se obtenga, para 
decidir si es o no resoluble por radicales cuadrados; pero como tal procedimiento, 
aunque de éxito seguro, exige, con frecuencia, entretenidos cálculos, conviene 
en general no lanzarse a ellos, más que después de ver que no es fácil reducir el 
problema propuesto a otro cuya solución nos sea conocida, o de la cual nos conste 
la imposibilidad. Se comprende, pues, cuánto importa al solucionista para abre¬ 
viar sus investigaciones, poseer un gran caudal de cuestiones irresolubles, y otro 
mayor aún de cuestiones resueltas; y entre ellas, las que se refieren a la determina¬ 
ción de puntos y tangentes comunes a lugares geométricos. A menudo, serán úti¬ 
les para decidir si es o no posible una construcción, los siguientes principios que 
indicó el dinamarqués Petersen en su excelente Tratado de las ecuaciones algé¬ 
bricas, y respecto de los cuales debe sobreentenderse que las curvas no circula¬ 
res están definidas por algunos de sus elementos, pero no dibujadas con un trazo 
continuo: i.° Las cónicas son las únicas curvas cuyas intersecciones con una recta 
cualquiera, o cuyas tangentes dirigidas desde un punto arbitrario, pueden obte¬ 
nerse con la regla y el compás; 2° Con los mismos instrumentos, es imposible ha¬ 
llar las intersecciones de una curva dada no circular con una circunferencia com¬ 
pletamente arbitraria por su posición y tamaño. De estos principios, cuyo simple 
enunciado hace ya presentir su importancia para el actual objeto, se deriva un 
método gráfico de extensas aplicaciones en la resolución de problemas: ese mé¬ 
todo es aplicable entre otros casos, a aquellos en que los puntos incógnitos deban 
ser las intersecciones de un lugar geométrico con una recta que ocupe, respecto de 
aquél, una situación completamente arbitraria; pues se reduce entonces a compro¬ 
bar sucesivamente si la solución buscada se obtiene sustituyendo el referido lugar 
por la recta, circunferencia o cónica, definidas respectivamente por 2, 3 ó 5 de 
sus puntos, con lo cual o quedará efectuada la construcción, o establecida su im¬ 
posibilidad ; pero bien entendido que se deberá, para evitar errores posibles, ex¬ 
aminar cuidadosamente si el lugar de que se trata está constituido por una sola 
línea o es el conjunto de varias, y en este último caso operar separadamente con 
cada una de ellas. Análoga ruta cabrá seguir, cuando las incógnitas sean los puntos 
comunes a un lugar geométrico y una circunferencia que, respecto de aquél, sea 
completamente arbitraria; y cuando el problema se reduzca a trazar las tangentes 
a una curva, por un punto cualquiera. Las leyes anteriores conducen también a 
una peregrina aplicación: así como al reconocer que ciertas líneas de un problema 
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