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ecuaciones reveló que existen dos clases .de polígonos regulares: unos, como el 
triángulo y el pentágono que son construibles con rectas y circunferencias; y otros, 
como el eptágono, que no lo son; pero se desconocía el carácter general que dis¬ 
tingue a unos de otros. Estaba reservado a Gauss, el coloso matemático del si¬ 
glo xix, el esclarecimiento de esta cuestión. En 1796, el ilustre autor de las con¬ 
gruencias, aplicando su propia teoría de las ecuaciones binomias, descubrió la 
célebre ley sobre polígonos regulares, que puede enunciarse así; para que uno 
de estos polígonos sea construible con la regla y el compás, se necesita y basta 
que, en el número de sus lados, ningún factor primo impar éntre más de una vez, 
y además que cada uno de ellos, disminuido en 1, sea una potencia de 2, o en 
otros términos, que sea de la forma i-j-2*. Es fácil ver que este binomio no puede 
representar un número primo impar más que en el caso de ser .r una potencia 
de 2; pero esta condición, en contra de lo que sospechaba Fermat,. no es sufi¬ 
ciente; es cierto que para 5 = 0, 1, 2, 3, 4, la forma 1 -j- 2 2 “ produce los números 
primos 3, 5, 17, 257 y 65537; mas para 2=5, resulta, según Euler, un múlti¬ 
plo de 641; y para z = 6 y 7, números también compuestos. Estas conclusiones han 
exigido, a pesar de ingeniosos recursos, pacientes cálculos, que no convidan a 
investigar lo que resultará cuando z exceda a 7; y así, los únicos números pri¬ 
mos conocidos de la forma explicada (y quizás los únicos existentes) son, aparte 
del 2, los antes citados. El Análisis indeterminada de la ecuación de primer 
grado con dos incógnitas, muestra fácilmente que la división del círculo en n par¬ 
tes iguales, cuando esto es posible, se reduce a resolver el mismo problema 
para los diversos factores primos de n, los cuales, como ya se ha dicho, no pue¬ 
den ser otros que 2, 3, 5, 17, 257, 65537 y los de la misma forma, si los hay. 
Las soluciones para n = 2, 3 y 5, se conocen ya desde la antigüedad; para n= 17, 
la construcción correspondiente fué efectuada por Gauss, resolviendo la ecua¬ 
ción binomia x 17 — 1 = 0; y también, siguiendo procedimientos muy semejantes, 
por Legendre, Grunert, Sdhroeter, Bachman, Briot, Staudt, Klein y otros, entre 
los que figuran Poncelet y Steiner que se sirvieron sólo de la regla, y Gerard 
que ha operado solamente con el compás. La división de la circunferencia 
en 257 partes iguales es difícil, por la inmensidad de cálculos a que conduce, 
pues obliga a resolver una ecuación binomia del grado 257; pero tal obstácu¬ 
lo no detuvo a Richelot, quien, sin arredrarse por tamañas dificultades, se 
lanzó con feliz éxito al análisis del problema. El resultado de sus inves¬ 
tigaciones, expuesto en 1832 en el “Journal de Crelle”, es un trabajo conside¬ 
rable, y que, sin embargo, aparece insignificante si se le compara con el 
realizado por Hiermes, profesor de Lingen, quien (a fines del siglo XIX) con una 
paciencia digna de admiración, consagró diez años a inscribir en el círculo el po¬ 
lígono regular de 65537 lados, comenzando, para conseguirlo, por resolver, se¬ 
gún el método de Gauss, una ecuación binomia de aquel grado. El enorme conjun¬ 
to de estos aterradores cálculos se conserva en el Seminario matemático de 
Gottinga. 
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