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El problema anterior es caso particular de otro que, por su sencilla apa¬ 
riencia, debió también presentarse espontáneamente en lo-s comienzos de la Geo¬ 
metría : me refiero a la división de un ángulo en q partes iguales, facilísima cuando 
q es una potencia de 2, pero imposible para los otros valores, excepto en casos 
particulares. Así lo evidencia el estudio de la ecuación binomia x q — i a = o, que 
es la del problema, cuando a representa el ángulo dado; pues sus raíces sólo 
pueden ser expresadas por radicales cuadrados, si q es una potencia de 2, o en 
casos especialísimos, como por ejemplo, ser el ángulo a una fracción del giro, 
q un número primo con su denominador, y construidles el ángulo dado y el q -avo 
de la circunferencia. El problema tiene siempre q soluciones, cosa que no sos¬ 
pecharon los geómetras griegos, y que seguramente los hubiera sorprendido, por 
no considerar que todo ángulo definido por su lado inicial, el sentido en que 
debe describirse y su ¡lado final, posee infinidad de valores, que se diferencian en 
uno o más giros. 
De lo expuesto, se infiere que, al intentar dividir el ángulo en un número im¬ 
par de partes iguales, tropezaremos inmediatamente con el caso más sencillo, el 
de la trisección, que por ser de tercer grado, es irrealizable en las condiciones 
ordinarias de los problemas planimétricos. Ante esta imposibilidad, que sólo la 
Teoría de ecuaciones ha logrado establecer, se estrellaron en la antigüedad los po¬ 
derosos esfuerzos de los más eminentes geómetras, con cuyos fracasos adquirió 
rápidamente este problema extraordinaria celebridad, que ha persistido hasta 
nuestros días. Siendo imposible su resolución con rectas y circunferencias, hay 
que recurrir al ¡trazado de otras líneas; y así lo hicieron los antiguos, guiados 
solamente por su ingenio y una sagaz adivinación de aquella imposibilidad; 
y también los modernos, conocedores de ésta, y auxiliados por el poderoso 
instrumento del cálculo algébrico. Seria ímproba tarea exponer las innume¬ 
rables construcciones propuestas para este famoso problema, objeto de medi¬ 
tación de eminentes geómetras. Los de la antigüedad se valieron generalmente 
de una hipérbola o una parábola, y también de otras curvas de grados supe¬ 
riores : Nicomedes operó con su concoide, línea de cuarto grado, que le sirvió 
también para resolver el problema de las dos medias proporcionales, median¬ 
te un aparato especial, el más antiguo que se conoce (aparte del compás) 
para el trazado de una curva; Diocles efectuó la trisección por medio de su 
cisoide, línea de tercer grado que estudió para este objeto; Hipias inventó 
su cuadratriz, y Conon la espiral, llamada de Arquímedes, curvas transcen¬ 
dentes, ideadas quizás para construir las diversas partes alícuotas de un ángulo 
propuesto, y ¡dividirlo en partes proporcionales a longitudes o números dados. 
No menos célebre que la trisección del ángulo, ni de fecha menos remota, es 
el llamado Problema de Del fas, acerca de cuyo origen nos ha transmitido la 
tradición fabulosas versiones. Trátase de construir un cubo duplo de otro, cosa 
que, por depender de una ecuación -irreducible de tercer grado, es irrealizable sin 
la intervención de alguna curva distinta de la circunferencia. Los antiguos, des- 
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