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conocedores de esta circunstancia, y considerando, por lo mismo, como solamente 
difícil lo que en realidad era imposible, engolfáronse en tentativas estériles, a las 
cuales, juntamente con su origen legendario, debe su celebridad este problema. 
Hipócrates de Chío, tan renombrado por la cuadratura de sus lúnulas, lo redujo a 
otro que, por tal motivo, adquirió también fama extraordinaria: la interpolación 
de dos medias proporcionales entre dos longitudes dadas; pero no dió solución 
alguna. La primera que se obtuvo fué debida a Platón, quien inventó par a tal 
objeto un aparato especial, primer ejemplo quizás de la solución mecánica de un 
problema geométrico. Varios discípulos de este filósofo variaron después 
las construcciones, que continuaron siendo mecánicas, pero sustituyendo aquel 
aparato por una ingeniosa combinación de dos escuadras móviles. Otros dos dis¬ 
cípulos suyos, Menechma y Eudoxo, aportaron verdaderas soluciones; pero utili¬ 
zando (claro está) curvas distintas de la circunferencia. Por la misma época, 
Architas, célebre pitagórico, operó sobre un cilindro, trazando la intersección de su 
superficie con la de un toro, primera línea de doble curvatura, estudiada por los 
geómetras, que nos ha transmitido la Historia. Después de estas investigaciones 
de la Escuela platónica, el problema continuó, durante muchos siglos, preocupando 
a los geómetras: Apolonio, Herón de Alejandría y Filón de Bizancio dieron di¬ 
versas soluciones, obtenidas con las cónicas; Eratóstenes resolvió el problema por 
medio de rectas, pero con el auxilio de un aparato apropiado, su mesolabio, que 
le permitía interpolar, entre dos longitudes dadas, un número cualquiera de medias 
proporcionales; Nicomedes, por un ingenioso análisis, redujo el problema de Del- 
fos, como asimismo el de las dos medias geométricas y el de la trisección del án¬ 
gulo, a trazar, por un punto dado, una recta sobre la cual otras dos fijas intercep¬ 
ten una longitud conocida, para cuyo objeto ideó su concoide; Papus encontró 
también una solución que es una de las más ingeniosas, pero que exige ciertos 
tanteos, y coincide en el fondo con la de Sporus y con otra que obtuvo Diocles 
por medio de sus cisoide. 
Los tres famosos problemas de que estamos tratando (el de Delfos, el de 
las dos medias proporcionales y el de la trisección del ángulo) objeto de profun¬ 
das meditaciones entre los antiguos, no han preocupado menos a los modernos: 
los geómetras del Renacimiento, y Vieta entre ellos, propusieron diversas solu¬ 
ciones del mismo género que las antes explicadas, ya valiéndose de las cónicas, 
ya ideando curvas especiales, o ya empleando algún mecanismo cómodo y fácil. 
Poco después, los progresos del Álgebra, y más tarde su fecunda asociación a la 
Geometría, ideada por Descartes, proporcionaron nuevas vías de investigación, 
que enriquecieron los célebres problemas con abundantes y nuevas soluciones. 
Huygens las dió numerosas en una obra sobre construcciones geométricas, que 
publicó muy joven; Viviani descubrió otras, que se distinguieron por su novedad 
y elegancia; el P. Griemberger, Renaldini y Barrow (el profesor de Newton) a 
imitación de Nicomedes y Diocles, y con el mismo objeto, operaron con curvas de 
su invención; Descartes abrió nuevos derroteros, dictando reglas generales para 
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