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Propúsose Newton, en primer término y lo consiguió por tres métodos di¬ 
ferentes, expresar el área de un segmento circular, comprendido entre dos ejes 
rectangulares y una ordenada, mediante una serie infinita de términos, ordenados 
por las potencias crecientes de la abasa. A estos primeros descubrimientos, añadió 
seguidamente su fecunda invención, que había de transformar las matemáticas 
puras y aplicadas: el Cálculo de las fluxiones y de las Atientes, o, como llama¬ 
mos ahora, el Cálculo ¡diferencial y el integral; y con el auxilio de tan poderoso y 
dócil instrumento, dió fórmulas para la rectificación de las curvas y la cuadratu¬ 
ra de las celdas planas, y las aplicó a los casos particulares de la circunferencia; 
descubriendo, asi, diversas series, que enseñan a calcular (suponiendo el radio 
igual a i) lía longitud de un arco de círculo o el área de uno de sus segmentos, 
mediante una de sus funciones trigonométricas; y viceversa. Leibnitz, por su par¬ 
te, en posesión también del Cálculo infinitesimal, halló varias series, relativas a 
la rectificación de las curvas, a la cuadratura de ciertos segmentos y a las fun¬ 
ciones circulares, coincidiendo con Newton en muchos descubrimientos, entre los 
que recordaré, por su utilidad para el cálculo de tc, el notable desarrollo 
are. t g. 2 — z -1—|—|-•••, y por su elegancia, el caso particular 
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— = 1-—-j--g-•••, que, poco antes, habían sido encontradas también por 
Gregory. Posteriormente, los estudios realizados por Taylor, Mac-Laurent, Moi- 
vre, Daniel Bernoudli, Euler, Waring, Stirlimg, Cauchy y o.tros analistas, llevaron 
la teoría de las series en general y lias relativas al círculo en particular, al admi¬ 
rable grado de perfección que ostenta actualmente. 
Los desenvolvimientos en serie de las funciones goniométricas inversas y de 
las áreas y segmentos del círculo, expresan en casos especiales el valor de tc , o de 
una de su? partes alícuotas; y pueden, por (tanto, utilizarse para el cálculo de 
este número. En un principio, la serie más usada para tal objeto, fué la primera que 
dió Newton, relativa al segmento circular, que, aplicada al arco de 30 o , da un des¬ 
arrollo de rápida convergencia; pero el procedimiento más expedito se debe a Eu¬ 
ler, y consiste en descomponer el ociante en arcos cuyas tangentes sean raciona¬ 
les (lo que es fácil) y aplicar a estos arcos el desenvolvimiento de arg. tg. x. Re¬ 
sultan, así, series de prodigiosa convergencia, que permiten calcular brevemente y 
con pequeñísimo error la razón de la circunferencia al diámetro. Tan expeditos 
medios, inmensamente superiores a los muy penosos de los polígonos regulares, 
han tentado a diversos calculadores, desde Newton hasta nuestros días, a obtener 
el número tc con gran aproximación; Sharp, a fines del siglo XVI, lo expresó 
con 73 decimales; Machín, poco después, con 100; Lagny, en 1719, con 128; 
Vega, en 1793, con 140; Dase, en 1844, con 200; Riohter, en 1854, con 500; 
Sancks, al finalizar el siglo XIX, con 707; y aún con más cifras, recientemen¬ 
te, si no me es infiel la memoria. Todos esltos resultados dejan muy atrás al 
número de Ludolf, tan célebre en su época y tan laboriosamente obtenido; 
pero su utilidad, por hoy, es muy dudosa; y únicamente la pueril vanidad 
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