de sus calculadores de decir la última palabra, excediendo en precisión a 
todos los demás, puede explicar la efectuación de cálculos tan estériles. El 
número de Ludolf bastaba para las necesidades actuales de la ciencia, aun para las 
más delicadas: sus 35 decimales permiten ya calcular, con error inferior a la mi¬ 
llonésima de milímetro, la longitud de una circunferencia cuyo radio sea reco¬ 
rrido por la luz en diez millones de años; y nunca se emplean en la Astronomía, 
ni en cuestión alguna, tan enormes distancias. 
Newton enseñó a calcular aproximadamente el área de una celda plana, limi¬ 
tada por una curva cualquiera, en función de varias cuerdas paralelas, suficiente¬ 
mente próximas y de sus respectivas distancias. Fórmulas análogas, para el mis¬ 
mo objeto, se han propuesto después por Simpson y Poncelet; y todas ellas de 
tal eficacia, que, aplicadas al círculo, originan errores insignificantes. Los valores 
conocidos de tz permiten también calcular el área del círculo y el lado del cua¬ 
drado equivalente, con aproximación bastante a satisfacer las mayores exigencias. 
Y por último, Vieta, Descartes, Huygens, Gregory, Newton, Leibnitz y otros 
geómetras, dieron soluciones para construir aquel 1 cuadrado con la regla y el 
compás; no exactamente, pero sí con tan pequeño error, que, para las necesidades 
del dibujo, pueda considerarse como la exactitud misma. Así, en el terreno 
práctico, el problema de la cuadratura del círculo hace ya tiempo que está com¬ 
pletamente resuelto; pero quedaba todavía por dilucidar si existía o no una so¬ 
lución teóricamente exacta, realizable con la regla y el compás. Presentíase que 
tal solución era imposible, sospecha natural ante lbs vanos esfuerzos de tantos 
siglos para dominar al rebelde problema; pero la duda permanecía en pie, por 
carecer de una demostarción en que se confirmara aquel presentimiento. Gregory 
creyó encontrar una, y Newton otra; el primero para la cuadratura de todo el 
círculo, y el segundo para sus sectores; pero los razonamientos no fueron con¬ 
cluyentes. Descartes opinaba que la longitud de un arco (cualquiera que fuese la 
curva) no era expresable algébricamente, mediante los parámetros de su ecua¬ 
ción y las coordenadas de los extremos; y que, así, la rectificación de la circunfe¬ 
rencia, y, por ende, la cuadratura del círculo, eran imposibles. Esta creencia, 
adoptada luego por muchos geómetras, y robustecida por la inutilidad de las ten¬ 
tativas efectuadas para rectificar la elipse y la hipérbola, fué desechada (por lo 
que a las curvas en general se refiere) a partir de 1657, después que Torricelli 
rectificó la espiral logarítmica, Wren la cicloide, y Neil y Wallis la parábola semi- 
cúbica — ay 2 . No hay más que un camino para establecer la imposibilidad de Y 
cuadratura del círculo con el compás y la regla: probar que re no es expresable 
por una función algébrica de números enteros, que no encierre otros radicales 
que los de segundo grado. Sabíase ya por Lambert (1770) que tu es irracional, 
y por Legendre (1794) que su cuadrado también lo es; pero, aparte de estos casos 
particulares, aquella ley permaneció sin demostrar hasta fines del siglo XIX, en 
que Lindemann descifró el enigma del famoso problema. He aquí una breve 
noticia de como se llegó a este descubrimiento: Euler, habiendo interpretado la 
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