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significación de la potencia con exponente imaginario, pudo definir analíticamente 
las funciones circulares del arco s, por medio de las exponenciales e 3 ^ — 1 y 
y deducir de esas definiciones la sorprendente relación 1 
-j- 1=0; Liouville (1844) había descubierto que existen dos clases de números: 
los algéb r icos, que son raíces de ecuaciones algébricas irreducibles con coeficien¬ 
tes enteros (reales o imaginarios); y los que no gozan de esta propiedad, o trans¬ 
cendentes; Hermite (1874) estableció que a esta última clase pertenece el número 
e, base de los logaritmos hiperbólicos, y que, por tanto, las potencias de e, con ex¬ 
ponente entero o fraccionario, positivo o negativo, son irraoionables; y por último, 
Lindemann (1882), después de generalizar esta proposición, demostrando que, si 
es nula una suma de potencias de e, afectadas de coeficientes, no es posible que 
todos éstos y todos los exponentes sean algébricos, la aplicó a la identidad 
-j- 1 = o, deduciendo, como sencillo corolario, que re es un número 
transcendente. Y de igual modo, considerando la ecuación 2Í sen z= e 3i — e~ 3t , 
se deduciría que un arco 2 y su seno (u otra cualquiera de sus funciones circulares) 
no pueden ser, simultáneamente, números algébricos. Estas conclusiones, de gene¬ 
ralidad inesperada, muestran que la rectificación de la circunferencia, o de uno 
cualquiera de sus arcos, y la cuadratura del círculo son imposibles, no sólo con 
rectas y circunferencias, sino también con el empleo de otras curvas algébricas 
cualesquiera; y que, por lo tanto, para su resolución hay que recurrir al trazado 
de alguna curva transcendente. 
Todo problema constructivo de Geometría puede reducirse, siempre, a re- 
solver gráficamente una ecuación, cuyas raíces reales sean todos los valores 
posibles de alguna incógnita, que determine a todas las demás. Para construir esas 
raíces, basta evidentemente considerarlas como abeisas, y trazar dos líneas cuyas 
ecuaciones sean tales que, eliminando entre ellas, la ordenada, resulte la ecua¬ 
ción propuesta: las abeisas de los puntos comunes serán las raíces buscadas. Pero 
existen infinitos pares de líneas que cumplen con aquella condición; y, por tanto, 
infinidad de construcciones posibles. La habilidad del solucionista consiste en es- 
cojer, entre todos aquellos lugares, los que sean de más fácil trazado, procurando 
por ejemplo, que uno de los dos, a lo menos, esté constituido por una o más 
rectas o circunferencias. Objeto ha sido de especial estudio la resolución gráfica 
de las ecuaciones, a la cual pueden referirse todos los problemas constructivos: 
realizada primeramente por Vieta y Getaldus, para las ecuaciones de primero y 
de segundo grado, fué extendida a las de tercero y cuarto por Descartes y Ba- 
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MEMORIAS,—TOMO XI. 
