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ciones aproximadas, y que pudiéramos llamar aritmético, por ser la Ciencia de los 
números la que juega el principal papel; y consiste en calcular (con relación a una 
longitud conocida, adoptada por unidad) un valor aproximado en decimales, o cun 
una fracción ordinaria, de una distancia incógnita que sea la clave del problema, 
y construir después ésta, mediante aquel valor. Este procedimiento, muy expedito, 
cuando se nos da hecho el cálculo y poseemos una esoala de reducción, es en cam¬ 
bio muy engorroso en el caso contrario. Existe, en fin, otro método que aa 
directamente la solución aproximada, sin cálculos ni tanteos, y se reduce a cons¬ 
truir, con la regla y el compás, distancias o ángulos que, teóricamente, discrepen 
de las incógnitas en cantidades insignificantes. Una solución de esta clase es, 
por ejemplo, la siguiente: para rectificar la circunferencia, fórmese un triángulo 
rectángulo cuyos catetos valgan, respectivamente, -|- y del diámetro; y su 
perímetro diferirá de la longitud de aquella curva en menos de una diezmilésima 
del diámetro. Las construcciones de esta índole, incomparablemente superiores 
po,r su elegancia, sencillez y precisión a las obtenidas por tanteos, o con el tra¬ 
zado por puntos muy próximos de curvas especiales, son casi siempre las prefe¬ 
ribles, y, por tal motivo las más usuales. Las mejor estudiadas son las referentes 
a los problemas de la Ciclomdtría, como construir la longitud de la circunferencia, 
mediante su diámetro, y viceversa; cuadrar un círculo, y resolver el problema in¬ 
verso ; hallar una de las tres longitudes arco, radio y cuerda-, conociendo las otras 
dos; transformar un sector o segmento de círculo en triángulo equivalente, y al 
contrario; dividir uno de sus arcos en partes proporcionales a números o dis¬ 
tancias dadas; y otras cuestiones análogas de rectificación y cuadratura. Las cons¬ 
trucciones aproximadas para esta clase de problemas débense, en primer término 
a Vieta y Huygens, y después a Leibnitz, y sobre todo a Newton, que enseñó a 
descubrirlas, por tal procedimiento, que permite fijar de aintanano el 1 límite má¬ 
ximo que se desee para el error relativo. Su método es sencillísimo: si, en una 
figura, los valores numéricos de n -|- i longitudes, referidos todos a la misma 
unidad, son tales que los n primeros sabemos expresarlos en series ordenadas por 
las potencias crecientes del último, se podrá, por eliminación, deducir de estas n 
series, otra que carezca de las n — i potencias que siguen a la de primer grado; y 
despreciando, por insignificantes (como lo serán generalmente) todos los términos 
de grado superior (igual, por lo menos a n -f- i) se tendrá una relación lineal 
entre aquellos n -[- i valores, que permitirá construir la longitud que representa 
uno cualquiera de ellos, conociendo todos los demás. En cada caso, el resto des¬ 
preciado dará a conocer el error relativo que afecta a la solución; y se conseguirá 
que ese error quede por debajo de un límite asignado, combinando un número de 
series suficiente. Aplicando este método a los dos desarrollos en serie de sen x 
y sen x, obtuvo Newton la relación aproximada 8 sen— x — sen r = 3 x, 
que equivale a la siguiente ley, ya encontrada antes por Huygens, mediante 
consideraciones puramente geométricas: aproximadamente, un arco de círculo 
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