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Por ejemplo, la trisección de la distancia geodésica entre idos puntos, realizable 
en el plano, no lo es sobre la esfera; pero, en cambio, la construcción de un 
cuadrado esférico que equivalga a un casquete dado (problema correspondiente 
a otro irresoluble, que es el de la cuadratura idel circulo) puede efectuarse en ca¬ 
sos particulares, por ejemplo, cuando el radio del casquete vale 6o°. 
Todo lo expuesto se refiere a la Geometría de Euclides, vulgar o clásica. En 
las Geometrías no-euclídeas, se presentan las mismas cuestiones, aunque han sido, 
claro está, menos estudiadas. Si se opera solamente -con la regla, la condición ne¬ 
cesaria y suficiente para que un problema planimétrico sea resoluble, es, con pe¬ 
queña modificación, la misma que indiqué en la hipótesis euclídea, a saber, que 
para todas las series de cuatro puntos, las razones dobles -desconocidas puedan 
expresarse por funciones racionales de las -conocidas y de números -enteros; pero 
bien entendido que tales razones no han de formars-e -con los segmentos rec¬ 
tilíneos, sino con sus senos hiperbólicos, en la hipótesis de Lobatschewsky, y cir¬ 
culares -en la de Riemann. Y a la misma conclusión s-e llega para las -construc¬ 
ciones ideadas en el espacio con rectas y planos. 
Para descubrir el carácter que, en las dos Geometrías no-euclídeas, distingue 
a los problemas 'resolubles con el empleo simultáneo del compás y la regla, hay 
que comenzar por instituir una Analítica, limitada po-r lo menos a las cuestiones 
fundamentales sobre la recta, la expresión -de la distancia entre dos puntos, me¬ 
diante sus coordenadas, y la -ecuación de la circunferencia; y :se comprende 
que el grado de sencillez en sus fórmulas depende de la -elección de coordena¬ 
das. Las que, a mi entender, se prestan mejor, no sólo al estudio de que ahora s-e 
trata, sino a la constitución de una Geometría analítica completa del -plano, son, 
para cada punto, las tangentes- (hiperbólicas o goniométricas, según sea la hipó¬ 
tesis admitida) de las distancias entre ell origen -de un sistema de ejes -rectangula¬ 
res y las proyecciones normales, sobre éstos, del referido punto; pues los inconve¬ 
nientes, que con este sistema pudieran temerse para - 1 -a Geometría hiperbólica, des¬ 
aparecen con la admisión de puntos y rectas ideales y -de distancias y ángulos 
imaginarios, y teniendo presente que las fórmulas -trigonométricas, para los 
triángulos ordinarios, subsisten aunque i, 2 ó sus 3 vértices sean límites o ideales, 
generalización útilísima para la métrica en general, que evita -enojosas excepcio¬ 
nes en fórmulas y razonamientos. Admitido este -sistema de coordenadas, y 
designándolas por x e y, la ecuación de 1-a recta resulta de primer grado, con 
relación a estas variables, lo que ofrece la ventaja de conducir en multitud de 
cuestiones referentes a la recta, a las mismas fórmulas euclídeas; la ecuación de 
la circunferencia es d^ segundo grado, y sus coeficientes iguales para los 
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