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términos en .r 2 e y 2 , y en fin, los cuadrados de los senos, cosenos, tangentes y 
cotangentes (hiperbólicos o circulares) <de la distancia entre dos puntos, se expre¬ 
san racionalmente con las coordenadas de éstos. Pues bien, si después .de efec¬ 
tuar una construcción con rectas y circunferencias, mediante las ecuaciones de es¬ 
tas líneas, calculamos sucesivamente las coordenadas de las intersecciones, y con 
éstas a su vez, una función hiperbólica o circular de cada distancia incógnita, en 
todo el curso del cálculo, no habrá que resolver más que ecuaciones de primero y 
de segundo grado; de donde resultará que aquella función quedará expresada 
algébricamente por medio de funciones hiperbólicas o circulares conocidas y de 
números enteros, y sin encerrar otras irracionales que las de segundo grado. Y 
como, reciprócamete, para toda expresión de esta naturaleza que no encierre im¬ 
posibilidad, la longitud incógnita de que se trata es construible, se infiere que la 
condición necesaria y suficiente para que, con rectas y circunferencias, un pro¬ 
blema constructivo sea resoluble, es que, para toda distancia incógnita, alguna de 
sus funciones hiperbólicas o circulares (según se admita la hipótesis de Gauss o la 
de Riemann) pueda expresarse con las de los datos por una función algébrica 
de la forma antes citada. La misma condición se obtiene, cuando se opera en 
el espacio en general, con rectas, planos y esferas, siguiendo una marcha aná¬ 
loga a la que acabo de explicar, instituyendo los fundamentos de una Analítica 
del espacio. Y aquí, como en el plano, las coordenadas que, según creo, conducen a 
fórmulas más sencillas, son para cada punto las tangentes hiperbólicas, o circulares 
(según la hipótesis de que se trate) de las distancias entre el origen de tres ejes rec¬ 
tangulares y las proyecciones normales, sobre éstos, de aquel punto. Obtiénense, 
así, ecuaciones de primer grado para el plano; de segundo grado con coeficientes 
idénticos en los cuadrados de las tres variables, para la esfera; y expresiones 
para las distancias entre dos puntos, de forma tal, que permiten reiterar los 
razonamientos antes expuestos. 
Bolyai enseñó, en la hipótesis fundamental de su Geometría, a trazar las dos 
paralelas a una recta, que pasan por un punto dado, y a efectuar otras construc¬ 
ciones, a las cuales han añadido algunas más sus continuadores; pero esta doc¬ 
trina, tanto en la hipótesis de Bolyai como en la de Riemann, ha sido aún poco 
desenvuelta. Entre los problemas fundamentales, propios de la Geometría hiper¬ 
bólica, que son resolubles con el compás y la regla, merecen recordarse los siguien¬ 
tes: hallar el ángulo de paralelismo, correspondiente a una distancia dada, y 
viceversa; trazar la recta que une dos puntos dados, de los cuales uno por lo 
menos es límite o ideal) en cuyo problema están incluidos el trazado de la parale¬ 
la común a los lados de un ángulo, el de la paralela a un lado y normal al 
otro, y el de la normal común a dos rectas no secantes ni asintóticas. En las dos 
Geometrías no-euclídeas, es posible construir un cuadrilátero trirrectángulo, 
definido por dos cualesquiera de sus lados, ya opuestos o ya contiguos, o por 
un lado y el ángulo oblicuo, lo que origina diversos problemas que son la 
clave de numerosas construcciones. En ambas Geometrías, la inscripción de 
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