33 
polígonos regulares en el círculo, se iverifica en los mismos casos que insti¬ 
tuyó Gauss en el supuesto euclídeo; y en ambas, también, es posible la cua¬ 
dratura del círculo, en infinidad de casos particulares, de los cuales algunos fue¬ 
ron estudiados por Bolyai. Entre los problemas irresolubles con la regla y el 
compás, en los supuestos no-euclídeos, está la construcción del metro natural, 
que es imposible en el plano bolyamo, por satisfacer el ángulo z de paralelismo 
que corresponde a dicha unidad de longitud, a la relación cot -i- z = e, y ser 
transcendente su segundo miembro; y en el plano de Riemann, por serlo tam¬ 
bién el número i: tz que expresa en semireatas el valor de aquel metro. 
Son numerosas las construcciones planas que resultan válidas en las tres 
geometrías; y justificables con razonamientos análogos o idénticos, lo que se ex¬ 
plica fácilmente, por subsistir importantes capítulos sin restricción alguna o con 
leves modificaciones, en las tres hipótesis fundamentales del espacio, como- ocu¬ 
rre, por ejemplo, con toda la Esférica, con la Geometría de la posición, y con las 
teorías de transversales, polos y polares y ejes radicales. Y esta coincidencia su¬ 
giere la idea de imponer una nueva traba al solucionista de problemas geomé¬ 
tricos : que sus construcciones sean admisibles Independientemente de la verdad o 
falsedad del Postulado de las paralelas, y ya sea el espacio finito o infinito. Tales 
construcciones son, generalmente, las efeetuables también sobre la esfera; por 
cuyo motivo, razonando sobr-e ésta, lograremos casi siempre descubrirlas, si son 
posibles. 
Los trazados sobre una superficie curva propuesta, constituidos por sus li¬ 
neas geodésicas y las equidistantes de un punto fijo, son abordables) también en las 
hipótesis antieuclideanas; y en particular para las esferas de centro real, ideal o 
infinitamente remoto. Para la esfera propiamente dicha, sus construcciones con 
circunferencias máximas, o con éstas y las menores, coinciden en las tres geome¬ 
trías, y sus caracteres de posibilidad son, respectivamente, los mismos que en la 
elíptica se obtienen, cuando se opera en el plano con la regla solamente, o con 
ésta y el compás. Las construcciones sobre la horisfera son las mismas del plano 
euclídeo; y las de la hiperesfera, las del plano gaussiano; pero sustituyendo, en el 
primero, las rectas por horiciclos, y en el segundo por hiperciclos. En su conse¬ 
cuencia, el trazado sobre aquellas superficies curvas de un cuadrado equivalente a 
uno de sus casquetes, empleando solamente sus líneas geodésicas y circunferen¬ 
cias, será imposible para la horisfera, y posible para la hiperesfera en casos 
particulares. 
Réstame aún considerar el aspecto más interesante en el estudio de las 
construcciones geométricas: el método para descubrirlas. Ese método es el aná- 
247 36 
MEMORIAS.—TOMO XI. 
