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el Sr. Bartrina enamorado entusiasta de aquellos conocimientos geométricos que 
pueden demostrarse con independencia ide todo postulado, llega también a indi¬ 
carnos como pueden resolverse teóricamente muchos problemas, ya sean tratados 
por geometría Euclídea, de Lo'batschewsky o Ide Riemann, aunque luego los de 
estos dos últimos carezcan de la solución gráfica correspondiente, pues, no pu- 
diendo concebir la inteligencia humana más que la Geometría parabólica o de 
Euclides, a ella debe limitar las operaciones gráficas correspondientes. Merece, 
sin embargo, plácemes el ilustre geómetra que hoy tenemos la satisfacción de 
acompañar en su ingreso a esta Corporación, porque ha llegado con el desarrollo 
geométrico de sus elucubraciones a procedimientos de resolución que no habíamos 
visto expuestos por otros insignes matemáticos. 
Con gran maestría expone primero, el señor Bantrina, las condiciones de 
posibilidad o imposibilidad en la resolución de un problema geométrico, según 
sean los instrumentos de que queremos hacer uso. El ideal de los geómetras 
griegos era hacer uso sólo de la regla y del compás, pues eran estos dos los ins¬ 
trumentos que consideraban más exactos; más modernamente se ha (demostrado 
que cabía prescindir de la regla y utilizar sólo el compás, y que este podía ser 
substituido por una regla a dos cantos, ya que podía trazarse con ella un haz en¬ 
volvente de una circunferencia. 
Wantzel en 1837 publicó ya una célebre Memoria, en que se expone el pro¬ 
cedimiento general que debe seguirse para determinar los problemas resolubles 
con la recta y el círculo, y encuentra análogas conclusiones que el señor Bar¬ 
trina; pero este profundiza más en el asunto, e inspirado por los estudios del 
geómetra Klein, llega a una conclusión de gran valor científico, respecto a la con¬ 
dición de posibilidad para resolver un problema con el exclusivo uso de la regla, 
y es el que todos habéis oído y que se refiere a la forma en que puede expre¬ 
sarse la relación anarmónica desconocida de cuatro puntos, en función de otra 
relación análoga que tengamos entre los datos del problema. 
El geómetra Enriques ha sintetizado todos los estudios relativos a esas posi¬ 
bilidades de resolución de los problemas geométricos, generalizando la teoría de 
Vvankzel y clasificando los problemas en problemas de i. er grado, de 2. 0 grado y 
de 3- er grado y orden superior. Los primeros admiten resoluciones puramente li¬ 
neales, y distingue en todos los casos los problemas gráficos y miétrico'S, logrando 
transformar los segundos en los primeros por medio 'del conocimiento ide la recta 
impropia del plano y de la involución absoluta que pudde 'establecerse sobre 
la misma. Dar esta involución absoluta es conocer dos pares de puntos con¬ 
jugados por medio de dos pares de rectas ortogonales. Lílama problemas de 
2. grado a los que se reducen a la intersección de una recta del plano con una 
cónica determinada del mismo, cónica que puede ser una circunferencia, trans¬ 
formándose asimismo los problemas métricos en gráficos por medio también de 
la consideración de la recta del infinito y su involución rectangular correspon¬ 
diente. Claro es que estos últimos problemas pueden resolverse por la regla y ei 
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MEMORIAS.—TOMO XI. 
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