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Sea ahora C ( x , y, s) un punto de la esfera cuyas distancias esféricas a M y N 
son a, ya,, Las mismas distancias sobre las cuerdas respectivas serán: 
(2) 
S 1 = V2 V 1 — ( ex + f 2 ) = 2 sen j a,; 
S 2 = V 2 Vi +(^ — f 2 ) — 2 s en y a s 
Una línea cualquiera de las propuestas tendrá por ecuación 
(3) 
sen ~ (a 2 — a,) = ± £ 
en que el valor absoluto de k caracteriza a cada curva dentro de la familia y está 
comprendido entre 0 y sen 4" c para la parte de ésta que aquí interesa. 
De las ecuaciones (2) y (3) se obtiene, hechas las transformaciones y re¬ 
ducciones necesarias, 
(4) 
2 * 
l—k* 
J 
e 2 y 2 
Esta ecuación, juntamente con la de la esfera 
(5) * 2 +y + = 1 
define en el espacio las curvas propuestas. Por consiguiente, los lugares geo¬ 
métricos buscados son intersecciones de la esfera con unos cilindros de base 
elíptica perpendiculares al plano O M N y dados por las ecuaciones (4). Las 
elipses de base están envueltas; como es fácil ver, por una línea de cuarto orden. 
Restableciendo en las ecuaciones (4) los valores de k, e y /, se tiene: 
( 6 ) 
Los semiejes de las elipses de basé de los cilindros mencionados son: 
sen 4 (a 2 — a,) COS j (a, — a,) 
—; b =——^-t-. 
1 
sen — c 
eos ¥ c 
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