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g-gonal, o de tres caras diferentes de p, q, y r lados. En el primer caso, la des¬ 
igualdad anterior se convierte en 
1 > 0 , 
y sus soluciones, teniendo en cuenta que p y q son diferentes, y p debe ser par 
(porque cada cara />-gonal está cercada alternativamente por caras de p y de q 
lados) son las siguientes: 
p = 4, 6 , 6 , 6 , 8 , 10, 
q — x, 3, 4. 5, 3, 3. 
Pero si en cada vértice se reúnen tres caras distintas de p, q y r lados, estos 
tres números serán pares; porque cada cara de una clase se hallará cercada al¬ 
ternativamente por dos de las otras dos clases; y la desigualdad correspondiente 
- 1 > 0 
(teniendo en cuenta que p, q y r no deben ser iguales, pues entonces el poliedro 
sería regular) no tendrá más soluciones, de distinta significación, que estas dos: 
(P = 4, g = 6 , r = 8 ), (p = 4, <7 = 6 , r = 10). 
II. Si los ángulos son tetraédricos, podrá ocurrir que, de sus cuatro caras, 
tres sean de p lados y una de q, o dos de p lados y dos de q, o dos de p la¬ 
dos, una de q y otra de r. En el primer supuesto, tenemos la desigualdad 
1 > 0 , 
que origina las soluciones 
{P = 3, q = x) (p = 4, <7 = 3). 
En el segundo supuesto, disponemos de la relación 
- 1 > 0 , 
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