que (debiendo ser diferentes p y q, sólo se satisface por los pares de valores (y 
sus simétricos) 
(P = 3, ? = 4), (p = 3, q = 5). 
En fin, si en cada ángulo sólido se juntan dos caras A de p lados, una B de q 
lados, y otra C de r, y las dos caras A no son contiguas, cada una de estas que¬ 
dará cercada alternadamente por caras B y C; luego p será par, y la desigualdad 
correspondiente a este caso, que es la 
- 1 > 0 , 
no originará otra solución que la 
P = 4, q = 3, r = 5, 
(y la que resulta de permutar r con q ). 
El caso en que las dos caras A sean contiguas exige que p, q y r sean pares, 
con cuyas condiciones la desigualdad última es absurda. 
III. Si los ángulos son pentaédricos, la desigualdad i adquiere una de las 
cuatro formas siguientes: 
P 11 
-3> 0, 
p q y 
3 > 0, 
+ 4 - - 3 > °. 
p q 
4 4 2 
4- + — +-3 > 0. 
p q y 
Las tres últimas no originan ninguna solución; pero la primera (que corres¬ 
ponde al supuesto a = 4 , 6 = 1 , y = °> es decir, al caso en que el ángulo sólido 
esté compuesto por cuatro caras ^-gonales y una g-gonal), se satisface por los 
pares de valores. 
(P = 3, q = 4), (p = 3, q = 5) 
3 . La ley de Euler, c -j- v — a — 2 , que enlaza los números c de caras, v de 
vértices y a de aristas de un poliedro convexo, conduce a las mismas conclusiones 
anteriores, y permite descubrir, para cada poliedro arquimédico convexo, aquellos 
números y los de sus diversas clases de caras, siguiendo la marcha adoptada por 
Meier Hirchs y expuesta por Baltzer en su Tratado de Geometría. Efectiva¬ 
mente, si en cada vértice se reúnen a caras de p lados, 6 de q lados, y de r lados, 
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