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etcétera, los números de estas caras serán respectivamente av\p, 6 v\q, y v.r,...; 
y se tendrá: 
2 c = (-|i. + - 2 J_ + JlL + 2 a = (a + 6 + Y + -) 
Sustituyendo estos valores de 2 c y 2a en la relación 2c 4 - 2v — 2a = 4, resulta 
[2 - «(l-1-) - 8(l-1-)- T (l - -|-)-]. _ 4. (2) 
El factor que multiplica a v debe ser positivo; pero siendo p > 2, la suma 
2 
de cuatro términos de la forma 1-todos diferentes, y también la de seis, no 
P 
todos iguales, excede a 2; luego, en el poliedro, no existen más de tres clases de 
caras, ni ángulos sólidos con más de cinco aristas. Así, pues, en la igualdad última, 
podemos suprimir los puntos suspensivos; y expresando que el factor incluido en 
el paréntesis recto es positivo, tenemos la relación 
2 a 2 6 . 2 y , ¿ , own 
~7 - + — + —~( a + 6 -}-y 2) > 0, 
la misma que habíamos obtenido al expresar que la suma de las caras de un án¬ 
gulo sólido del poliedro semi-regular convexo vale menos de cuatro rectos. Las 
soluciones admisibles de esta desigualdad (que ya obtuvimos en los tres supues¬ 
tos posibles de poseer los ángulos sólidos tres, cuatro o cinco aristas) sustituidas 
en la relación 2, harán conocer a v; y mediante v se podrán calcular los números 
Cp , c q , c r de sus caras de p, q y r lados y los valores de c y a, valiéndose de las 
fórmulas 
*v 6v y v 
—, Cq= -, Cr = -i -, c = Cp + c q + c r , a = -¡r (a + 6 -f y) V. 
p q v ¿i 
Los resultados obtenidos mediante esos cálculos son los que se consignan en 
los cuadros siguientes. Los números de la segunda columna expresan la natura¬ 
leza de las diversas caras que concurren en cada vértice y el orden en que se su¬ 
ceden ; así un ángulo sólido A B A C formado por una cara triangular B, una 
pentagonal C y dos cuadradas A, no contiguas, se indica con la notación 4 . 3 . 4 . 5 . 
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