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por cuyo motivo, razonando como antes, se hallará que para todo poliedro arqui- 
médico, sea o no convexo, se cumple la ley 
pero ahora el coeficiente de v puede ser positivo, nulo o negativo; y, por tanto, las 
indeterminadas a, 6,..., p, q,... admiten infinidad de valores, mientras que las va¬ 
riedades posibles de polieros arquimédicos existen en número limitado. 
También resulta ineficaz la relación que expresa que las caras de un ángulo 
sólido suman menos de 4 rectos, si aquél es convexo, o menos de 42 rectos, si 
su especie es e , como vamos a ver. Designando por p’, q, ... las respectivas es¬ 
pecies de las caras />-gonales, q-gonales, etc. (algunos de los números p, q, r... o 
todos ellos, podrán ser iguales, por tratarse de polígonos regulares con igual nú¬ 
mero de lados, pero de especies diferentes) y conservando las notaciones ante¬ 
riores, la expresada relación es 
a —^—f- 6 -y- + • • • — (a + 6 + • • • — 2e)> ,0 
la cual posee infinidad de soluciones numéricas; y solamente algunas originan 
poliedros semi-regulares. Para descubrirlos todos, he debido, pues, recurrir a 
otros procedimientos, que son los que expongo a continuación. 
II. Algunos principios relativos a los ejes de simetría 
5. Adoptaré la denominación de eje de simetría, en el mismo sentido que le 
asignan los cristalógrafos. Asi, diré que una recta es eje de simetría de una fi¬ 
gura, cuando ésta coincide consigo misma haciéndola girar alrededor de aquella 
recta un ángulo igual a una parte alícuota de 4 rectos. Según que esa parte alí¬ 
cuota sea -y, -y, -i-, ..., el eje será binario, ternario, etc., o de segundo, tercer 
orden, etc. Si el orden es a , a todo elemento M x (punto, línea, superficie o es¬ 
pacio) de la figura dada corresponden, en la misma, a —1 elementos M 2 , M 3 , 
M 4 ,... simétricos u homólogos de M x , agrupados de tal suerte alrededor del eje 
que, mediante un giro de 360 o : a. coincida cada uno de los elementos M 2 , 
M 3) ... M a ,M 1} en su nueva posición, con la posición primitiva del siguiente. De 
igual modo, en una figura dibujada sobre la esfera, un punto de su superficie 
será centro de simetría binario, ternario, &., cuando girando alrededor de este 
punto un ángulo igual a-y, -y,... de 4 rectos, aquella figura coincida consigo mis¬ 
ma ; y entonces uno cualquiera de sus elementos y sus homólogos quedarán agru¬ 
pados alrededor del centro, en tal situación que, mediante un giro de 360 o : a (si a 
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