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y A B Q iguales a 360 o : 2n, que serán agudos, puesto que suponemos n > 2. 
Las rectas A P y B Q no podrán caer en un mismo plano; porque, si cayeran, de 
la misma propiedad gozarán a y b — puesto que resultarían normales a dicho pla¬ 
no — en contradicción con el supuesto. Considérese la recta z que corta normal¬ 
mente a A P y B Q: las respectivas intersecciones A' y B' serán diferentes de 
A y B, puesto que los ángulos A' A B y ABB' son agudos. Construyanse los 
cuadriláteros B B'C'C, C C'D'D, DD'E'E,... el primero simétrico del A A' 
B'B, respecto del eje B B'; el segundo, simétrico del primero, respecto del eje 
C C'; &; trácense la recta c normal en C al plano B C D; la d normal en D al 
plano C D E; &; finalmente, márquense sobre las respectivas rectas a, b, c, los 
puntos A x , B x , Q, escogidos de tal suerte que A x y B x queden a un mismo lado 
del plano A B A', y B x y C x al mismo lado del plano B C B'. De todos estos su¬ 
puestos se deduce que son iguales los cuadriláteros A A'B'B, B B'C'C, D D' 
E' E....; que A' B', B' C, C' D',... son de la misma longitud y forman una sola 
recta z; que, en el cuadrilátero alabeado A A'B'B, por reunir las condiciones 
áng. A' = áng. B' y áng. A = áng. B, es A A' = B B'; que, por consiguiente, es 
A A' = B B' = C C'...; que, por ser simétricos respecto del eje B B' los ángulos 
ABB' y B'B C, el A B C vale el duplo del A B B', o sea 360 o : n; y que lo mis¬ 
mo valen B C D, C D E,... La recta z y cualquiera de las a, b, c, d, e,... no perte¬ 
necen a un mismo plano; pues si, por ejemplo, se trata de las o y z, vemos que 
A A' corta normalmente a las dos; pero el plano A' A B, normal a la primera, 
no lo es a la segunda, por ser B A' oblicua a z. Dos cualesquiera de las rectas a, 
b, c, d,... son diferentes, pues si, por ejemplo, b ye fueran una misma, ésta y la z, 
a pesar de no pertenecer a un mismo plano, cortarían a dos normales comunes 
B B' y E E', lo que es inadmisible. Los diedros B x B A A x y C x C B B x son igua¬ 
les, por serlo las figuras A A' B' B b a y B B' C' C c b, en atención a que pueden 
coincidir; y por la igualdad de estos diedros y por ser A B C = 360 o : n, rectos los 
ángulos C X C B, C B B x , B X B A, B A A x y B A = B C, si la figura gira alrededor 
de b en sentido conveniente, un ángulo de 360 o : n, coincidirá a con c ; y, por lo 
tanto, es la recta c homologa de a, respecto del eje n-ario b; luego en el poliedro 
dado es c otro eje de simetría del orden n; y análogamente se vería que también 
lo son los d, e, cuyo número, según hemos visto, es ilimitado. Llegamos, pues, 
a la conclusión de que, si los ejes a y & no pertenecieran a un mismo plano, el po¬ 
liedro propuesto poseería infinidad de ejes a, b, c, d, lo que es absurdo. 
4.° Por los tres casos examinados, queda establecido que los dos ejes a y b 
se cortan, si son del mismo orden. Si sus órdenes son diferentes, considérese una 
recta a' homologa de a respecto de b, y podrán efectuarse las siguientes deduc¬ 
ciones: a' es, en el poliedro dado, un eje de simetría del mismo orden que a; y, 
por tanto, a y a' se cortan; el punto de intersección debe ser homólogo de sí mis¬ 
mo, y pertenece, por consiguiente, al eje b; luego a y b concurren en dicho punto. 
8. Si una figura tiene dos ejes binarios p y q, que se cortan normalmente, 
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