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ternario B'. Ahora bien, el punto J pertenece a la figura dada; luego también 
pertenecerá su homólogo N, respecto de P'; y, por consiguiente, el homólogo K 
de N, con relación al centro B'. Y reiterando estos razonamientos, se deducirá, 
de la existencia de K en la figura dada, la de L, y de ésta la de M. Así, a todo 
punto J de dicha figura, corresponden en la misma, otros tres K, L, M simétrica¬ 
mente agrupados con el primero alrededor de X; luego X es un centro de sime¬ 
tría cuaternario de la sección esférica que venimos considerando; y, por tanto, 
O X, eje cuaternario del cubo, también lo es de la figura dada. Idénticos razo¬ 
namientos son aplicables a los otros ejes cuaternarios. 
12. I. Si un poliedro tiene dos ejes a y b de un orden superior a 2, poseerá 
los mismos ejes que un tetraedro, un octaedro o un icosaedro platonianos; y no 
poseerá más. 
Demostración. Si los ejes a y & no son del mismo orden, prescindamos del 
a, y sustituyámoslo por una recta c homologa de b respecto de a (que será dife¬ 
rente de b, porque a no es binario, y tendremos (6) dos ejes b y c del mismo 
orden. 
Sabemos que estos dos ejes se cortan. Haciendo centro en su intersección O 
(fig. 13) describamos una superficie esférica, que pase por un punto interior al 
F 
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Fig. 13 
poliedro dado, la cual cortará el eje b en dos puntos, y en otros dos al c. Si B es 
un punto del primer par, y C otro del segundo, B y C serán, respecto de la sec¬ 
ción esférica, producida en el poliedro, centros de simetría del mismo orden 6 
que b y c. El punto C y sus homólogos F, G,... respecto de B, son, a su vez, cen¬ 
tros de simetría de aquella sección; y las rectas OF, OG,... ejes del poliedro, del 
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