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orden 6. Los arcos de círculo máximo BC, BF, BG,... que unen B con los del 
sistema de homólogos C, F, G, H,... son de igual longitud, y forman alrededor de 
B, 6 ángulos iguales C B F, F B G, G B H,... Construyendo, con arcos de círculo 
máximo, la línea equilátera B C D E... con sus ángulos D C B, EDC,... descri¬ 
tos en el mismo sentido, iguales a 360 o : 6, resultará una línea cerrada BCDEF, 
un polígono esférico regular, es decir, se recaerá sobre B; porque, de lo contra¬ 
rio, las rectas O B, O C, O D, OE,... (que son ejes de simetría) formarían una 
serie ilimitada; y el poliedro poseería infinidad de ejes de simetría, lo que es 
absurdo. Operando de igual modo que con el arco B C con todos sus homólogos 
B G, B F, respecto de B, se formarán, alrededor del punto B, 6 polígonos regu¬ 
lares idénticos al anterior; y reiterando esta serie de operaciones con todos los 
vértices de los polígonos que vayan derivándose, formaremos una red de polí¬ 
gonos, en la cual se volverá a recaer sobre alguno de los ya construidos; porque 
de lo contrario, el número de sus vértices sería ilimitado, lo mismo ocurriría con 
los radios de la esfera dirigidos a aquéllos (radios que son ejes de simetría del 
poliedro) y éste poseería infinidad de ejes de simetría, lo que es inadmisible. La 
red de los referidos polígonos será, por consiguiente, cerrada; y como son 
regulares e idénticos y se reúnen en número de 6 alrededor de cada vértice, los 
polígonos planos, que determinan, formarán un sólido regular r, y los radios 
de éste serán ejes de simetría, del orden 6, del poliedro dado. Si r es un cubo, 
sus 8 radios pertenecen a 4 rectas, que son ejes ternarios, no sólo del cubo, sino 
de cualquiera de los dos tetraedros platonianos que determinan sus vértices; y, 
así, podemos afirmar que los radios de algún sólido regular s, cuyas caras tengan 
un número impar de lados son, con el msimo orden que en s les corresponda, ejes 
de simetría del poliedro dado. 
Demostremos, ahora, que éste, tiene también por ejes todos los otros del s> 
es decir, sus apotemas y las rectas que bisecan a dos aristas opuestas. Fijémonos 
nuevamente en la superficie esférica que ha intervenido en los razonamientos an¬ 
teriores, y sea P un punto de la misma, perteneciente al poliedro propuesto. En 
el polígono esférico BCDE F, que antes considerábamos, representado ahora 
aparte en la figura 14, y cuyo número de lados, supondremos ser n, márquese el 
centro X, y considerándolo como centro de simetría del orden n, hállense los ho¬ 
mólogos Q, R, S, T de P; fórmense los. triángulos esféricos C D U, B ¡C V iguales 
al C B P; y podremos afirmar las relaciones siguientes entre distancias y ángulos 
esféricos homólogos de C o de X, o en triángulos iguales: 
DU = PB = DR, 
CQ =■ PB = CV, 
UDC =PBC = RDE; 
QCD = PBC = VCB; 
luego 
DU = DR, 
CQ = CV, 
UDC = RDE, RDU = EDC = 360 °: 6, 
QCD= VCB, QCV = DCB = 360 °: 6. 
MEMORIAS.—TOMO XIII. 
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