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Los dos pares de relaciones DU = DR y RDU = 360 o : 6, C Q = C V y 
O C V = 360: 6, enseñan que U y R son homólogos respecto del centro D del 
orden 6, y que también lo son Q y V con relación a C. Ahora bien, el punto P 
pertenece al poliedro dado; luego también pertenecerá su homólogo U, respecto 
de C; y, por consiguiente, el homólogo R de U con relación a D. Y, por idénticos 
razonamientos, se deducirá sucesivamente de la existencia de R en la figura dada, 
la de Q, y de ésta, a su vez, la de S; es decir, la de todos los puntos homólogos 
de P respecto de X (puesto que el orden del centro X es impar). El punto V (por 
ser homólogo de Q) pertenece también al poliedro dado, y es simétrico de P con 
relación al punto medio de B C, considerado como centro binario. De todo lo cual 
''R 
Fig. 14 
se infiere que el radio O X de la esfera, dirigido al polo X del polígono esférico 
B C D E F es un eje de simetría del sistema de puntos P, Q, R, S, T, y su orden 
es el número n de lados de aquel polígono; y que el radio que biseca al arco B C, 
y también, por consiguiente a su cuerda, es un eje binario del par de puntos P y 
V. Así, pues, a cada punto P del poliedro dado, corresponden, en el mismo, otros 
a — 1 puntos O, R, S, T, agrupados simétricamente con el primero alrededor 
del radio O X, y además un punto V binariamente simétrico con relación al radio 
que biseca a la cuerda B C. Luego ambos radios son ejes de simetría de aquel 
poliedro. Y como, partiendo siempre del mismo punto P, se llegaría a la misma 
conclusión para otro lado cualquiera de la cara B C D E F, y para cualquiera 
otra cara del sólido regular que veníamos considerando, resulta que sus apotemas 
y las normales a sus aristas, dirigidas desde el centro, son, con el mismo orden 
que en aquél, ejes de simetría del poliedro dado. 
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