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Queda, pues, establecido que éste posee los mismos ejes que alguno de los 
sólidos regulares cuyas caras tengan un número impar de lados; y por tanto, los 
mismos que un tetraedro, un octaedro o un icosaedro platonianos. 
Y no tiene más. Efectivamente, si poseyera otro eje h distinto por su posi¬ 
ción o por su orden de los que ya posee en un poliedro platoniano s de 4, 8 ó 20 
caras, éste no se hallaría en coincidencia con su homólogo s' respecto de h, si h 
era binario, o con alguno de sus homólogos, si el orden de h era superior a 2; y 
así, algún radio OE de s' (fig. 15) cortaría a alguna cara BCD del s, interna¬ 
mente o en su orilla, pero no en un vértice; y designando por O el centro de s , 
que también lo sería de s', podríamos razonar del modo siguiente. 
i.° Si el sólido platoniano ^ es un icosaedro, serán O B y O E, en el po¬ 
liedro dado, ejes de simetría quinarios, y existirá (según hemos visto al principio 
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Fig. 15 
de la demostración) un poliedro regular de arista B E y ángulos pentaláteros 
convexos, el cual, por consiguiente, será o un icosaedro convexo o un dodecaedro 
de caras estrelladas: en el primer caso, debería ser B E = B C; y en el segundo, 
BE > BC; conclusiones, ambas, inadmisibles, por ser BE < BC. 
2. 0 Si el sólido platoniano .r es un octaedro, serán O B y O E, en el polie¬ 
dro dado ejes de simetría cuaternarios; y existirá un sólido regular de arista B E 
y ángulos cuadriláteros, o sea un octaedro; y esto es imposible, porque, en tal 
caso, debería ser BE = B C, y es B E < B C. 
3. 0 Finalmente, si el sólido platoniano s es un tetraedro A 1 B C D (fig. 16) 
sus ejes ternarios son los mismos que los del cubo cuyos vértices son los A 1} B, 
C, D y sus opuestos A, B 1} Q, D x . Si, además de los ejes del tetraedro s, el po¬ 
liedro dado posee algún eje binario o cuaternario de aquel cubo, poseerá todos 
los de éste (11); y por tanto, todos los de un octaedro conjugado, que son los 
mismos; y (2. 0 ) ninguno más. Pero si poseyera otro eje h distinto de los anteriores, 
por su orden o su situación, la figura c' homologa del cubo A B C D A x B x C x D x 
respecto de h, si h era binario, o alguna de sus homologas, si el orden de h era 
superior a 2, no coincidiría con aquel cubo; y, así, algún radio OE de c' cortaría 
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