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a una cara A B C x D del cubo A B C D A x B x Q D 1; internamente o en su orilla, 
pero no en su vértice. Entre las cuatro distancias E A, E B, E C, E D, se podrá es¬ 
coger una menor que A B, y suponiendo que lo es B E, podremos razonar del modo 
siguiente: O B y O E serán ejes de simetría ternarios del poliedro dado, y existi¬ 
rá, por consiguiente un sólido regular de centro O y arista B E, el cual, por lo tan¬ 
to, deberá ser o un tetaedro (imposible, porque B E < B D) o un cubo) absurdo 
to, deberá ser o un tetraedro (imposible, porque B E < B D o un cubo) absurdo 
también, porque B E < A B) o, en fin, (único caso admisible) un dodecaedro con¬ 
vexo o estrellado, cuyos ejes coincidirán con los de un icosaedro platoniano. Todos 
estos ejes, y por consiguiente, ninguno más (i.°), pertenecerán al poliedro dado, y 
entre ellos deberán figurar forzosamente el h y los del tetraedro s. Luego, en resu¬ 
men, el poliedro dado no tendrá más ejes que los del tetraedro regular .y o los de 
un octaedro o un icosaedro platonianos. 
La proposición queda demostrada. 
II. Como un poliedro regular de 8 caras tiene los mismos ejes que otro de 
6; y uno de 20 los mismos ejes que otro de 12, podemos también afirmar que si 
un poliedro tiene dos ejes no binarios, poseerá los mismos ejes que un tetraedro, 
un exaedro o un dodecaedro platonianos; y no poseerá más. 
III. POLÍGONOS DETERMINANTES 
13. Un poliedro arquimédico se llamará uniforme o biforme, según que 
tenga todos sus ángulos sólidos iguales o los tenga de dos clases: unos iguales, y 
los otros simétricos de los primeros, pero no superponibles con ellos. 
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