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Se dirá que un poliedro arquimedico es armónico, cuando coincide consigo 
mismo al colocarlo de manera que uno cualquiera de sus ángulos sólidos coincida 
con otro cualquiera de sus iguales. Esta circunstancia se cumplirá evidentemente, 
cuando un ángulo sólido, con las caras poligonales- que lo forman, determine, sin 
cambiar de posición, un solo poliedro arquimedico. En el caso de que determine 
dos o más, admitiremos que uno de ellos-, por lo menos, es armónico. -Cuando 
éste nos sea conocido, podremos deducir de él todos los otros, dislocando las 
partes no comunes y colocándolas en una nueva situación conveniente. Por lo 
tanto, la investigación de los poliedros arquimédicos se reduce a la de aquellos 
que son armónicos, y es- la que desde luego vamos a efectuar. 
Si un poliedro arquimedico armónico, se coloca de manera que un ángulo 
sólido A coincida con otro de sus iguales A', coincidirá todo el poliedro consi¬ 
go mismo, y sus diferentes vértices B, C, D,... en sus nuevas posiciones se si¬ 
tuarán respectivamente en las primitivas B', C', OD',... de otros vértices; los dos 
sistemas de.puntos A, B, C,... y A', B', C',... son, pues, iguales; y, así, podemos 
considerar el poliedro arquimédico armónico como compuesto de otros dos coin¬ 
cidentes ; en los cuales son homólogos dos vértices A y A' de ángulos sólidos igua¬ 
les : a toda línea de aristas, que pase por A, y en general a toda figura que con¬ 
tenga al punto A y pertenezca al poliedro, corresponde, en éste, otra figura igual 
que contiene a A'; y respecto de ellas son A y A' puntos homólogos. Es de ad¬ 
vertir que, si el ángulo sólido A puede ser descompuesto en n partes superponi- 
bles, mediante cortes a lo largo de n aristas, la superposición de los ángulos só¬ 
lidos A y A' se logrará de n modos; y que, por consiguiente, podrá considerarse el 
poliedro como compuesto de otros n iguales y coincidentes, que tengan A y A' 
por puntos homólogos. 
De las precedentes consideraciones, se infiere que, si en los ángulos sólidos 
iguales Ay A' del poliedro arquimédico armónico son homologas las aristas A B y 
A' B', en los B y B' también lo serán las BAyB' A'. Admitiremos que esta pro¬ 
piedad se cumple también, cuando los ángulos sólidos A y A' no son iguales sino 
simétricos. De la admisión de este principio se deduce que, si en un poliedro ar¬ 
quimédico armónico y biforme, A y A' son vértices de ángulos sólidos simétricos, 
a toda línea ABCD..., compuesta de aristas, corresponde otra simétrica 
A' B' -C' D'... de la misma naturaleza; y que, -por tanto, a todo sistema de vértices 
A, P, Q,... corresponde otro simétrico, constituido por vértices A', P', Q',... de 
ángulos sólidos respectivamente simétricos de los- anteriores. En particular los 
vértices de todos los ángulos iguales constituyen un sistema simétrico del que 
forman todos los demás; y el número de los primeros es, por tanto, igual al de 
los segundos. 
14. Diremos que, en un poliedro arquimédico, dos vértices A y B son re¬ 
cíprocos, cuando colocando el poliedro de manera que el ángulo sólido A coincida 
en su nueva posición con la primitiva del B, la nueva del B coincide, a su vez, 
con la primitiva del A. En tal caso, el poliedro posee un eje de simetría binario, 
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