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respecto del cual son A y B puntos homólogos. Es de advertir que, si el ángulo A 
se compone de dos o más partes superponibles, su coincidencia con su igual B 
podrá lograrse de dos o más modos; y que, por consiguiente, A y B podrán 
considerarse o no como recíprocos, según el modo con que se los haga coincidir. 
En todo poliedro arquimédico, siempre es posible escoger, entre sus ángulos 
sólidos iguales, dos vértices no recíprocos. 
Demostración. (Fig. 17) i.° Si el poliedro es uniforme, los extremos de 
una arista A B común a dos caras desiguales ABCDEyABFG son vértices 
no recíprocos; porque, en los ángulos sólidos A y B, A B y B A no pueden ser 
aristas homologas, por ser simétricos y no iguales los triedros AEBGyBCAF. 
D 
C 
Fig. 17 
2. 0 Si el poliedro arquimédico es biforme, sus ángulos sólidos iguales son 
tantos como sus simétricos; y tendrá, por lo menos, tres de cada clase. 
Si tuviera 3 solamente, y dos cualesquiera fueran recíprocos, formarían un 
triángulo equilátero ABC, sus alturas serían ejes binarios del poliedro, y tam¬ 
bién, por lo tanto, del triángulo A' B' C' formado por los vértices de los otros 
tres ángulos sólidos simétricos de los primeros; luego ABC y A'B' C', y por 
consiguiente todo el poliedro estarían en un mismo plano, lo que es inadmisible. 
Si el poliedro arquimédico biforme poseyera solamente 4 ángulos sólidos 
iguales A, B, C, D, y dos cualesquiera de estos vértices fueran recíprocos, ten¬ 
dría por ejes binarios las dos rectas que en el cuadrilátero A B C D bisecan a cada 
par de lados opuestos (que resultarían iguales), y también, por consiguiente (8 y 
9!) a la normal a dichas rectas en su punto O de concurso. Los otros 4 vértices 
A', B', C' D' de los ángulos sólidos simétricos de los anteriores, deberían formar 
una figura simétrica A' B' C' D' y con los tres mismos ejes; luego A' B' C' D' o 
coincidiría con A B C D (lo que es inadmisible, pues en tal caso el sólido arqui¬ 
médico sólo tendría 4 vértices) o sería simétrico del A B C D; pero esto tampoco 
es posible: efectivamente, si los puntos A, B, C, D estuvieran en un mismo plano, 
en él estarían también sus simétricos A', B', C', D', y por consiguiente todo el 
poliedro; y si A, B, C, D no cayeran sobre un plano, estos puntos y sus simétri¬ 
cos A', B', C', D' respecto de O, serían los vértices de un paralelepípedo; con- 
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