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clusión absurda, pues es fácil ver que con tales vértices no existe ningún poliedro 
arquimédico. 
En fin, si este cuerpo, que suponemos biforme, posee 5 o más ángulos sólidos 
iguales, no es posible que uno de sus vértices A sea recíproco de todos los otros. 
Efectivamente, si lo fuera de cuatro B, C, D, E, poseería cuatro ejes binarios, 
mediatric.es de los segmentos rectilíneos A B, A C, A D, A E; entre estos cuatro, 
habría por lo menos dos oblicuos; la normal común a los dos en su punto de con¬ 
curso (9) sería un eje de simetría de un orden a superior a 2; y haciendo girar 
todo el poliedro alrededor de dicho eje un ángulo de 360 o : a , todo vértice P y su 
nueva situación O 110 serían recíprocos. 
15. En un poliedro arquimédico armónico, escojamos dos vértices A y B 
de ángulos sólidos iguales, que no sean recíprocos; y coloquémoslo de manera 
que el ángulo A coincida con la primitiva situación del B. Entonces el poliedro, 
por ser armónico, se confundirá consigo mismo, y B en su nueva situación (por 
no ser recíproco del A) no se colocará en A, sino en otro vértice C. La nueva si¬ 
tuación de éste no será la primitiva del B, sino otra D; y la que éste adquiera, no 
la C, sino otra E, y así sucesivamente. En la serie de vértices A, B, C, D, E,... 
que, así, se obtengan, habrá, por fin uno K cuya nueva situación será la primitiva 
de A. El polígono A B C...K resultará regular, y diremos, que es un polígono de¬ 
terminante correspondiente a la pareja de vértices A y B. Si el ángulo sólido A se 
compone de dos o más pates superponibles, la coincidencia del A con el B puede 
lograrse de dos o más modos, y a cada uno de ellos (menos para el que convierta 
a A y B en recíprocos, si lo hay) corresponder a la pareja A B distinto polígono 
determinante, no sólo por su situación, sino por su número de lados o por su es¬ 
pecie. En tal caso, esta multiplicidad de soluciones desaparece, imponiendo la con¬ 
dición de que una arista a, escogida en A, coincida con una b escogida también en 
B entre las varias homologas de a. 
Consideremos en el poliedro arquimédico armónico todas las parejas de án¬ 
gulos sólidos A' B', A" B",... homologas de la A B; y si A se compone de partes 
superponibles, todas las figuras a'A'b'B', a"A"b"B",... homologas de a A b B: 
todos los polígonos determinantes que de estas parejas o figuras se derivan, y a 
los cuales daremos la denominación de isógenos, son idénticos; porque dos cuales¬ 
quiera, si se derivan de parejas iguales (y entonces diremos que son acordes ) 
coincidirán al mismo tiempo que aquéllas; y si son discordes, es decir, si proceden 
de dos parejas simétricas; serán, a su vez, simétricos, y, por tanto, iguales. Por 
cada vértice del poliedro pasará un solo polígono determinante idéntico al oca- 
sinonado por A B, si el ángulo A no consta de partes superponibles; pero pasarán 
dos o más, en el caso contrario; porque, en el primer supuesto, en cada vértice 
empieza un solo segmento homólogo del A B, mientras que, en el segundo, em¬ 
piezan varios. 
Todo poliedro arquimédico armónico posee, por lo menos., dos polígonos de¬ 
terminantes. Efectivamente, posee uno, que es el originado por una pareja de 
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