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= O' N. Así, las distancias de N a los centros de dos polígonos acordes cuales¬ 
quiera son iguales; luego todos los polígonos acordes tocan en sus centros a una 
esfera de centro N y radio O N. 
Si el poliedro es biforme, el grupo de todos los polígonos acordes y el de los 
isógenos discordes de los primeros son figuras simétricas por su forma, con los 
mismos ejes, en las que el punto N es homólogo de sí mismo; luego los polígonos 
del segundo distan del punto N lo mismo que los del primero; y todos ellos, por 
consiguiente, tocan en sus centros a una misma esfera de centro N y radio O N. 
25. Todo poliedro arquimédico armónico es inscriptible en una esfera; y 
los remates de todas las aristas que empiezan en un mismo vértice, están sobre 
una circunferencia. (*) 
B 
Flg. 29 
Demostración. i.° (Fig. 29). Si N es el centro de la esfera que toca a todos 
los polígonos isógenos A B C, A' B' C',... en sus centros O, O',... serán iguales 
los triángulos N O A, NO AN O B,.., por tener sus dos catetos respectiva¬ 
mente iguales. Y, de la igualdad de esos triángulos, se sigue la de sus hipotenu¬ 
sas N A, N A', N B,...; luego la esfera de centro N y radio N A pasa por todos 
ios vértices del poliedro arquimédico. 
2. 0 Los segundos extremos P, Q, R,... de todas las aristas que empiezan en 
un mismo vértice A, equidistan de A y también del centro N de la esfera circuns¬ 
crita al poliedro ; y caen, por consiguiente, sobre una circunferencia que tiene por 
eje de revolución la recta A N. 
(*) Estas propiedades también son aplicables a los poliedros arquimédicos inarmónicos, según puede 
comprobarse con los dos únicos existentes, que se describen más adelante en el párrafo 33-III. 
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