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isógenos acordes E F G H y E' F' G' H'; y esto es imposible: efectivamente, si 
fueran del mismo sentido (fig. 34) su eje sería, en el poliedro arquimédico, de un 
orden superior al que le corresponde en el platoniano í (16 y 18); y, si aquellos 
dos polígonos (fig. 35) fueran de sentidos opuestos, los ejes binarios del grupo, 
que forman, también lo serían en aquellos poliedros (19); y en ambos casos re¬ 
sultarían uno o más ejes de los que posiee s', lo que es absurdo (12). 
Tampoco podrá E F G H situarse fuera de una cara de s'. Probémoslo. 
E F G H debe tener por eje alguna apotema de s', la cual será también eje de 
otros dos polígonos a y b isógenos de E F G H, si s' en un cubo o un dodecaedro, 
y de uno solo E' F' G', si s' es un tetraedro: los dos primeros casos son inad¬ 
misibles (22) por estar a, b y E F G H en planos diferentes. Tampoco es ad¬ 
misible la existencia del poligono E' F' G' en el caso de ser s' un tetraedro, es 
decir, en el caso de que el sólido arquimédico no tenga más ejes que los del te¬ 
traedro s'; efectivamente, si O y O' son los centros de E F G y E'F'G' (fig. 36), 
I el medio de O O' y J el de E E', será I J un eje binario del poliedro arquimé- 
(20), y no del tetraedro s' (por ser recto el ángulo O I J) en contradicción con el 
supuesto de que ambos cuerpos tienen los mismos ejes. 
Segundo csao. (Fig. 34.) Si A coincide con Q', este punto y sus homólogos, 
respecto de los diversos ejes del sólido s', son los centros de las caras de s', y los 
vértices de un poliedro regular t conjugado de s '; y t, por tanto, constará de 4, 8 ó 
20 caras. Los vértices de t lo son también del poliedro arquimédico; pero no lo es 
ningún otro punto P: efectivamente, si lo fuera, sería exterior a todos los radios de 
t (indefinidamente prolongados) o estaría en alguno de ellos: en el primer supuesto, 
por ser homólogos los ángulos sólidos Q' y P, debería pasar por P un eje de sime¬ 
tría del mismo orden que un radio O Q' del sólido platoniano t, lo que es absurdo, 
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