- 39 - 
por no coincidir la dirección de ninguno de sus radios con la de O P; y en el se¬ 
gundo supuesto, de caer P en un radio O Q' del sólido t (o en su prolongación) Q' 
y P serían puntos opuestos en la esfera circunscrita al poliedro arquiinédico, y éste 
poseería un eje binario, que sería mediatriz de P Q'; dedúcese de esto, que, si t 
consta de 8 ó 20 caras, P será un vértice de t (el opuesto al Q'); y, si t es un tetrae¬ 
dro, por poseer los mismos ejes que el poliedro arquimédico de que se trata, posee¬ 
rá un eje binario normal a un radio O Q', lo que es absurdo. Queda, pues, demos¬ 
trado que, en el supuesto de coincidir A con Q', el poliedro arquimédico tiene por 
vértices los de uno regular t de 3, 8 ó 20 caras, y ninguno más. Pero es fácil ver 
que no existe ningún poliedro arquimédico con los mismos vértices que uno regu¬ 
lar de 4 ó de 20 caras; y como, según hemos visto (29) sí que existe uno, y nada 
más que uno, con los mismos vértices que un octaedro regular, que es el tetraedro 
hemicúbico, podemos afirmar que este cuerpo arquimédico es el único posible en 
el supuesto de que A coincida con Q'. Observando, ahora, que sus seis vértices son 
los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular, vemos que caen sobre las 
caras de éste (no prolongadas) formando triángulos equiláteros iguales, concéntri¬ 
cos con ellas y con idénticas situaciones, de acuerdo con el enunciado. 
31. En virtud de la proposición anterior, para descubrir los poliedros ar- 
quimédicos uniformes con más de un eje no binario, basta dibujar sobre cada 
uno de los tres poliedros platonianos de 4, 6 y 12 caras polígonos regulares igua¬ 
les, semejantes y concéntricos con ellas, y de igual modo situados, y examinar si, 
mediante variaciones convenientes en su tamaño y posición, se puede con todos 
sus vértices formar algún poliedro arquimédico. Para esto, hay que examinar 
cuáles son los nuevos polígonos regulares convexos o estrellados, que pueden for¬ 
marse con grupos de aquellos vértices, convenientemente elegidos; y las combi¬ 
naciones de esos polígonos (entre los cuales pueden figurar los primitivos) que 
cierren ángulos sólidos iguales, pero no regulares, darán a conocer todos los 
poliedros arquimédicos uniformes y armónicos, derivados del platoniano que se 
considera. Los no armónicos cuando, existan, se deducirán de cada uno de los 
primeros, mediante una dislocación de alguna ide sus partes, que en nada altere la 
form'a de sus ángulos sólidos. Para facilitar estas investigaciones, los polígonos 
regulares dibujados sobre el poliedro platoniano de 4, 6 ó 12 caras, los supon¬ 
dremos sucesivamente colocados en las posiciones siguientes: 1. a En coincidencia 
con las caras; 2.“ y 3. a Inscritos en las caras, ya tocando a los lados en sus puntos 
medios, ya en otros puntos; 4. a En posición directamente homotética con ellas; 
5. a Con sus radios respectivamente normales a los lados de las caras; y 6.” En 
una situación arbitraria, distinta de las cinco anteriores. 
VII. — Poliedros arquimédicos uniformes, derivados del tetraedro regular 
32. Para obtenerlos, siguiendo la marcha expuesta en el artículo anterior, 
deberemos dibujar, sobre las caras de un tetraedro regular, triángulos equilá- 
lll 
