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pueden ser directos o retrógrados, según sea la situación de los pentágonos auxi¬ 
liares sobre el dodecaedro de donde se derivan ( 3 ). 
viii. Los sólidos arquimédicos, que hemos derivado del dodecaedro regular, 
no originan ninguno inarmónico. 
x.— Situación de los vértices de un poliedro arquimédico, armónico 
Y BIFORME 
35 . Los vértices de un poiedro arquimédico armónico, biforme (*) forman 
octógonos iguales, situados sobre las caras no prolongadas de un cubo; o decágonos 
también iguales, situados sobre las caras no prolongadas de un dodecaedro pla¬ 
toniano; y, en ambos casos, dichos polígonos, por su forma y situación, poseen lo$ 
mismos ejes que la cara en que yacen. 
Demostración. —El poliedro arquimédico, por ser armónico, posee polígonos 
determinantes, y, por consiguiente, uno o más ejes no binarios; pero no puede po¬ 
seer uno solo, porque sería un prisma o un obelisco, que son uniformes, luego 
tiene más de uno; y, por tanto, los razonamientos hechos para los poliedros uni¬ 
formes en el párrafo 30 , subsisten para los biformes, con tal que se apliquen, no 
a todos sus vértices, sino solamente a los de sus ángulos sólidos iguales. Pode¬ 
mos, pues, afirmar que, en dichos poliedros biformes, los vértices de los ángu¬ 
los sólidos iguales caen sobre las caras no prolongadas de un poliedro platoniano s 
de 4 , 6 ó 12 caras, ya en coincidencia con sus centros, o ya formando polígonos 
regulares, semejantes y concéntricos con ellas e igualmente situados respecto de 
las mismas. El sistema de estos vértices y el de todos los otros son figuras simé¬ 
tricas ; y así, el segundo caerá también sobre otro sólido platoniano s' simétrico de 
s, e igual por consiguiente a s; pero s y s' poseen los mismos ejes de simetría; luego 
son uno mismo, a no ser que £ sea un tetraedro, pues entonces podría también s' 
ser el tetraedro simétrico de s, respecto de su centro. Por esta excepción, y porque 
los vértices del sólido arquimédico pueden o no coincidir con Ioís centros de las 
caras de í y s', se orginan diversos casos, que vamos a analizar separadamente. 
i.° Si los vértices de los ángulos sólidos iguales del poliedro arquimédico son 
los centros de las caras de s, en los mismos centros caerán también los vértices de 
los otros ángulos simétricos de los anteriores; pero si s es un tetraedro, podrán 
caer sobre el tetraedro s' simétrico de í respecto del centro de la esfera circuns¬ 
crita; y entonces los centros de las caras de s y s' serán los vértices de un cubo. 
Luego en el supuesto actual, los vértices del poliedro arquimédico deberán ser los 
de uno regular de 4 , 6 , 20 u 8 caras. Pero ninguno de estos cuatro origina solu¬ 
ción: los tres primeros, porque no existe ningún poliedro arquimédico con sus 
mismos vértices; y el cuarto, porque el tetraedro hemi-cúbico, que de él se deriva, 
tiene iguales todos sus ángulos sólidos; y por consiguiente, no es biforme. Luego, 
(*) Sobrarla la condición de que el poliedro sea armónico, si se supiera ya que lo son todos los 
biformes. 
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