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concéntricos con ellas, igualmente situados los de las 4 caras alternas, PQR, RUS, 
STPyTQUjyen situación simétrica los de las otras 4 . Si existiera algún po¬ 
liedro arquimédico, que tuviera por vértices los de estos triángulos, podrían for¬ 
marse con aquéllos polígonos regulares con más de tres lados, lo que no ocurre. 
Luego, en definitiva, en un poliedro arquimédico armónico y biforme, no es po¬ 
sible que los vértices de los ángulos sólidos iguales caigan sobre un tetraedro re¬ 
gular s y los otros sobre el simétrico s' de s. 
3. 0 Tampoco es posible que todos los vértices caigan sobre un tetraedro re¬ 
gular. Efectivamente, si cayeran, formarían sobre sus caras, como H K L (fig. 81 ) 
H 
parejas iguales de triángulos discordes, como A B C y A'B'C', o lo que es equi¬ 
valente, exágonos iguales, como AA'C B'B C', con los mismos ejes de la cara en 
que yacieran. Pero el único sólido arquimédico que tiene por vértices tales exágo¬ 
nos, no es biforme, sino uniforme, es un cubo-octaedro de ángulos triedros, (fig. 
82 ), constituido cada uno por dos exágonos y un cuadrado (como C B'B C'A A', 
C B'G'G F E y C E E'A', que concurren en el vértice C). 
4. 0 De lo expuesto se deduce, que los vértices de los ángulos sólidos igualéis, 
en un poliedro arquimédico, armónico y biforme, caen sóbrelas caras no prolon¬ 
gadas de uno platoniano s de ó ó 12 caras, y que sobre el mismo caen también los 
demás vértices, formando entre unos y otros parejas iguales de polígonos discor¬ 
des, que serán cuadrados ABCDy A'B'C'D' para el cubo (fig. 83 ), y pentágonos 
regulares A B C D E y A'B'C'D'E' para el dodecaedro (fig. 84 ), talles que los de 
cada cara, HKLMoHKLMN, sean concéntricos con ella y se hallen simétri¬ 
camente colocados respecto de los ejes de la misma. De todo lo cual se infiere que 
los vértices de cada pareja determinarán un octógono A D'B C'C B'D A' (si s es 
un cubo) o un decágono AE'BD'CC'D B'EA' (si s es un dodecaedro), y cada 
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