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40. Como resumen y consecuencia de nuestras investigaciones, podemos 
afirmar las siguientes leyes: 
1. a Aparte de las dos series ilimitadas de primas y obeliscos, existen 73 
poliedros arquimédicos, de los cuales 16 solamente son convexos. 
2. a No existen más que 7 poliedros arquimédicos biformes: 2 convexos 
y 5 estrellados; y los 7 con ángulos triédricos. 
3. a No existen más que dos poliedros arquimédicos inarmónicos; convexo 
el uno y estrellado el otro, bu ángulo sólido, constituido por tres cuadrados y un 
triangulo, es convexo para el primero, y plegado para el segundo. 
4. u En el poliedro arquimédico, los ángulos sólidos constan de 3, 4, 5 o ó 
aristas; y sus caras (exceptuando prismas y obeliscos) de 3, 4, 5, 6, 8 o 10 lados, 
bus caras no pueden ser más que de dos o tres clases. 
5. a Todo poliedro arquimédico es inscriptible en la esfera; y los segundos 
extremos de todas las aristas, que parten de un mismo vértice, caen sobre una 
circunferencia. 
6. a Los poliedros arquimédicos armónicos o tienen un solo eje no binario 
(caso de los prismas y obeliscos) o los mismos ejes que un poliedro regular. 
Estos últimos poseen ias propiedades siguientes: 
No se componen más que de dos o tres grupos de caras homologas. Las de 
un grupo yacen en los mismos planos que las de un poliedro regular; las de otro 
grupo, también sobre un poliedro regular de los mismos ejes, o son respectiva¬ 
mente paralelas a las caras de éste y se cortan en su centro. En cuanto a las ca¬ 
ras del tercer grupo, si existe, o yacen también sobre las de un poliedro regular 
o sobre las de un sólido kepleriano (41) de caras rómbicas o pentagonales, pro¬ 
longadas si es necesario. Si caen sobre un romboedro, son cuadradas; si sobre 
un pentagonoedro, triangulares; y si yacen sobre las de un poliedro regular, o 
son concurrentes y respectivamente paralelas a las de éste, poseen igual o duplo 
número de lados que las de dicho sólido. 
En el poliedro arquimédico, que posee más de un eje no binario, sus vér¬ 
tices están sobre las caras no prolongadas de un tetraedro regular, de un cubo o de 
un dodecaedro platoniano, formando polígonos regulares iguales, concéntricos y 
semejantes con ellas, e idénticamente situados respecto de las mismas, o parejas de 
tales polígonos. El número de vértices es 6, 12 ó 24, si el poliedro arquimédico 
se deriva del tetraedro; 6, 12, 24 ó 48, si proviene del cubo; y 20, 30, 60 ó 120, 
si nace del dodecaedro. 
41. Algunos llaman poliedros de Kepler a los que tienen regulares sus án¬ 
gulos sólidos, sin ser todos idénticos, y sus caras iguales, dispuestas todas en un 
mismo sentido o en dos sentidos contrarios. Para obtenerlos todos, basta hallar 
las figuras polares de los poliedros arquimédicos, respecto de la esfera circuns¬ 
crita. Los que posean caras concurrentes en su centro, que son nueve, no origji- 
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