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P = t g [ P 0 -j- T (6, p) ] 
Si fi r solo depende de 0, la ecuación se integra por una sola cuadratura, 
obteniéndose 
J cotg £ p 0 + T ( 6 )] d 8 
p = C e 
expresión en la que C es una constante arbitraria. Todas las curvas de la familia 
serán homotéticas de una de ellas respecto al polo. 
6. Consideremos algunos casos particulares. Sea 
W ( 0 ) = o . 
Como ecuación polar de las curvas C tendremos 
i 
p — C ( sen p 0 ) p ■ 11 
Si p es positiva, todos los valores que podrá tomar p para valores finitos de 
C, serán finitos; pero si p es negativa, las curvas tendrán ramas infinitas. 
Al estudiar las trayectorias ortogonales obtenidas por traslación, todos los 
sistemas particulares de curvas C que hemos obtenido han sido trascendentes y 
probablemente no existirá ningún sistema algébrico que goce de la propiedad 
estudiada. No ocurre lo mismo con los sistemas que por rotación nos dan sus tra¬ 
yectorias ortogonales. En particular, los sistemas de curvas C definidos por la 
ecuación (ii), son algébricos para todos los valores racionales del parámetro p y, 
como veremos al dar a dicho parámetro algunos valores particulares, existen 
sistemas de curvas C constituidos por rectas, circunferencias, hipérbolas, pará¬ 
bolas y lemniscatas. Por otra parte, sin hacer una afirmación definitiva, pues no 
he estudiado detenidamente la cuestión, parece que la ecuación (i i) contiene 
todas las soluciones algébricas posibles dando, como hemos dicho, valores racio¬ 
nales al parámetro p. 
Veamos ahora las soluciones que se obtienen al dar a p algunos valores par¬ 
ticulares. 
Se tendrá 
p = C se« 4 — 
4 
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