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correspondiendo esta última según Weierstrass, a las funciones elípticas, clave 
de las funciones doblemente periódicas. 
Por esta vía se alcanza la fórmula de Plermite, correspondiente a una fun¬ 
ción elíptica, descompuesta en elementos simples sumatorios, mediante la nueva 
función Z o la p de Weierstrass, y por ende la función elíptica descompuesta 
en factores, dependientes de la función a , la cual nos conduce directamente 
al teorema de Lionville, que demuestra como los ceros y los infinitos de una 
función elíptica, situados en un paralelógramo de los períodos;, la suma de los 
ceros no difiere de los infinitos sino en múltiplos de dichos periodos. 
Ciertamente que la función elíptica p de Weierstrass es una de las más im¬ 
portantes, siendo su derivada igual a una raíz cuadrada que contiene un tri¬ 
nomio de tercer grado en p, y cuyos coeficientes son las invariantes designadas 
por la letra g. De las funciones anteriormente citadas, se viene luego en cono¬ 
cimiento de una infinidad de fórmulas importantes, así como las consecuencias 
de que toda función elíptica par es una función racional de p; siendo en cambio 
una función elíptica impar igual a una función racional de p multiplicada por p’. 
Por fin, para no fatigar vuestra atención, digno de mención son también los 
trabajos realizados acerca de las funciones <r> de Jacobi en combinación de 
otras designadas por H y H t , de donde resultan, según Briot y Bouquet, las 
0 3 0 0 2 01, las cuales por relación de cociente como nuevas funciones doble¬ 
mente periódicas, originan las tres expresiones y, p, y u, correspondientes a 
senam, cosam y deltam. 
Así, por fin, se viene en conocimiento de las funciones a multiplicadores 
constantes llamadas funciones doblemente periódicas de segunda especie, amén 
de las funciones a multiplicadores exponenciales llamadas funciones doble¬ 
mente periódicas de tercera especie. 
Lo expuesto hasta aquí puede considerarse como un breve resumen de lo 
concerniente al estudio de las funciones. 
III 
Si de las funciones pasamos a reseñar lo que hay de más importante res¬ 
pecto a las ecuaciones diferenciales, empezaré manifestando como las conside¬ 
raciones referidás a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, 
basta para conducir por méclio de la ecuación de Eider a la suma de argumen¬ 
tos correspondiente a las funciones elípticas, origen de la verdadera goniome- 
tría que permite por valores particulares del módulo, pasar inmediatamente a 
la goniometría circular o hiperbólica, todo lo cual puede considerarse como 
preliminar al estudio de las ecuaciones diferenciales lineales en combinación 
del factor integrante de Laplace, sistemas, adjuntos, desarrollos de las integrales 
en forma de series, según Jordán; formas canónicas; analogías con las ecua¬ 
ciones algebráicas; Integrales primeras de un sistema de ecuaciones diferen- 
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