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Nuevas orientaciones vienen en auxilio de esos conceptos dentro del aná¬ 
lisis matemático superior; contribuye al mismo fin el gran pensamiento de Rie- 
mann al convertir las superficies en simplemente conexas por medio de ciertas 
aberturas que ponen en comunicación unas hojas con otras de, la superficie dada, 
y asi toda integral de la ecuación diferencial lineal resulta uniforme si el punto 
(x, y) supuesto sobre dicha superficie no atraviesa el contorno total de la 
misma. 
Hay que atender en esta nueva teoría a las. sustituciones lineales que se 
suponen desarrolladas en sentido positivo o negativo de las líneas cortantes. 
En general las sustituciones no son conmutables, y esta circunstancia, sin duda, 
complica el procedimiento; empero cuando se trata del género uno las dos sus¬ 
tituciones expresadas por S y X l , son conmutables y entonces puede admitirse 
que el producto de las dos sustituciones anteriores sea independiente del orden 
de los factores. 
De esta suerte se llega al estudio de una ecuación diferencial lineal cuyos 
coeficientes de los diferentes términos, excepto el primero, sean funciones do¬ 
blemente periódicas de z, con los períodos w yw’. La célebre ecuación diferen¬ 
cial de segundo orden de Lamé, como caso particular de la anterior, estudiada 
con profundidad por Hermite, es prueba clarividente de los sorprendentes re¬ 
sultados que se obtienen cuando las funciones elípticas entran como coeficientes 
en las ecuaciones diferenciales lineales. 
Ciertamente que ese campo inmenso de investigaciones, es el que corres¬ 
ponde al estudio de las ecuaciones diferenciales lineales aunque no sea sino con¬ 
cretándose a las ordinarias, habiendo ocupado con predilección la atención de 
nuestros matemáticos por espacio de más de medio siglo. 
Al considerarlas en términos generales fácilmente se comprende que su es¬ 
tudio ofrece dos fases bien distintas, esto es: la primera, relativa a la deter¬ 
minación de integrales correspondientes a un sistema diferencial, la segunda, 
a la deducción de propiedades de las. integrales, atendiendo tan sólo a las ecua¬ 
ciones diferenciales que las deben producir. 
De esta segunda parte se han ocupado, entre otros varios matemáticos, el 
distinguido Fuchs, y de modo sorprendente el insigne matemático Painlevé. 
La importancia de esa parte notable del análisis superior, se deduce, por 
ejemplo, al consultar la obra que ha poco acaba de publicarse en Alemania por 
los matemáticos Guldberg y Wailenberg; hermosa condensación de cuanto se 
viene hablando sobre el particular en los tiempos actuales. - 
Por fin, el Rendiconti del Circolo Matemático di Palermo, acaba de publi¬ 
car también un trabajo bastante importante respecto al mismo punto. 
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Si nos situamos, por último, sin más pérdida de tiempo en un punto do- 
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