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Domenico Piani 
e si determini pur q approssimatamente, riducendo Pequazione io q alla for¬ 
ma Aq -+- B = 0 col trascurar le potenze di q superiori alla prima ; e si 
otterrà q ==— ~ — c, donde p — b + c, ed x — à 4- b ■+* c, terzo valore 
approssimato di x. 
Similmente per ottenere un valor di q più approssimato di c, e quindi 
un quarto valore di x più approssimato di a + 6 + c, si sostituisca q — e -t- r 
nell’equazione in q (completa, quale era prima d’esser ridotta ad Aq-i-B=0), 
e si avrà una trasformata in r, da cui si ricaverà nelle stesso modo un va- 
A questo modo, si avranno le approssimazioni a,a + ò,a + &-t-e, ecc. 
convergenti verso il valor vero di x. 
2. Tale è la prima parte del metodo newtoniano. « Mais (dice LAGRANGE 
nella Nota V al Traité de la Résolution des équations numériques des tous les 
degrés) il est bon de remarquer qu’oo peul se dispenser de faire contiouel- 
lement de nouvelles transformées; car, puisque la transformée en p est le 
résultat de la substitution de a-t-p, an lieu de x dans l’équation en x , et 
que la transformée en q est le résultat de la substitution de 6 -t- q, au lieu 
de p, dans la transformée en p, il s’ensoit que cette transformée en q sera 
le résultat de la substitution immédiate de a + 6 + ^ à la place de x dans 
la mème équation en x; per conséquent elle ne sera antre chose que la pre¬ 
mière transformée en p, en y changeant p en q, et a en a + 6; d’où il 
s’ensni 1 qu’ayant trouvé l’expression générale de p en a (cioè la espressione 
"fW")* °° aUra CC ^ e 0» eD y snbstituant a-t-ft au lieu de a; et par 
a mème raison on aura la valeur de r, en y substituant a ■+■ b -+• c au lieu 
<( Donc en général si, dans l’exprèssion de p en a, on substitue pour 
a un terme quelconque de la suite convergente vers la racine cherchée, on 
aura la quantité qu il faudra ajouter à ce terme pour avoir le terme suivant. » 
« Lr raéthode qm résulte de cette consideration est^ corame l’on voit, 
plus simple que celle de NEWTON; c’est celle que RAPHSON a donnée 
* r, ^inlitulé Analysts aequationum universali imprimé à Londres 
en 1 6 00, et reimpnme en 1697. Corame la raéthode de NEWTON avait 
fété^nb 308 i ‘ n0n an f lai " e , de VA ¥bre de Wallis en 1685, et qu’elle 
hni VA X DncS5 u €n , delai ! daDS l ’ éd,tion la,ine de 1693 , on peni èrre 
mmerail^i rrnire^u i“ “ 31 ! >aS fail n,, '" ;i,,n Jan ’ son onvrage; ce qui 
¥èa li q " ' I* «garden corame entièreiuent différeote de la sienne : 
deiir mAihLa» 1 31 CRl élaU pas inmde de remarquer que ces 
« Malta 0 ', T ,° nÌ qUe b raème P résen,ée » 
dfpeud dell, ' | ' SI c a,r <I " e ,a bonlé de la >»WKHh doni il s’agit, 
cl„ de VI' qUe S ' * e!t "• Talenr a PP r °chée d'une des ra¬ 
teine tciot!» prop0!ée ’ 0+ ? sera »“* valeur plus approchée de la 
E qui LAGRANGE mostra darsi casi ne’quali , la valeur carragèe a + f. 
