Del metodo newtoniano 
se ne scosti più del precedente, o più d’ no certo numero di precedenti, od 
anche più di tutti. Imperocché possiara formare un’ equazione f(x) = 0 la 
quale abbia una radice b compresa fra a e - a, oppure fra a e a ; e 
per ia quale esso metodo fornisca la serie di valori approssimati 
di quella radice b, prendendo le a, come la b a nostro arbitrio, con tutte 
le stravaganze imaginabili. Difatto ponendo x — a-hp nella f(x) = 0, e del¬ 
la trasformata trascurando i termini contenenti le potenze di p superiori alla 
l. a , avremo 
f(a) -4- f (a) p = 0, donde p — c K ed x = <H- c { = . 
Poscia ponendo x = •+- p { , avremo 
f(9 { ) 4- f (£ t ) p { = 0, donde p { — c 2 ed x = d ì -+• c 2 = $ 2 ; 
e in generale ponendo x = £ r H-jj r , avremo 
fftr) ■+* f (#r) Pr = 0, donde Pr — C r + 4 ed X = d r -+- Cr+I = £ r + i . 
Perchè d i9 9%, ,., d r .... d n abbiano i voluti valori a 4 , o 2 ,... a r .... a», 
basterà assoggettar le costanti di f(x) alle condizioni 
f(Or) +• (a. + , - Or) f (Or) = 0 . 
attribuendo all’ indice r tutti i valori interi da zero fino ad n, inclusivamen- 
te; e ciò perchè 
p r = Cr+ i = #r + i — = «r + j — <*r • 
Le n + 1 equazioni 
f(b) = 0 
f(a) -+- («i — a) f (a) = 0 
/•(a r ) (a r+i — a r ) f (a r ) = 0 
fiondi) -b(a n ~an-i)f(an- 1) = 0 
essendo lineari per le costanti A dell’ equazione 
f(x) = x m + A i x”~' +A m = 0, 
daranno valori tutti reali per esse A; epperò, assumendo m non inferiore ad 
n + l ; potrem sempre formare la bramata equazione. 
