Teoria 
delle superficie 
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o da tre piani osculatori consecutivi; una tangente è determinata da due pun¬ 
ti consecutivi o da due piani osculatori consecutivi; ed un piano osculatore 
è determinato da tre punti consecutivi o da due tangenti consecutive. 
7. Dicesi sviluppabile il luogo delle tangenti alla curva; le tangenti 
sono le generatrici della sviluppabile. Ordine della sviluppabile è il 
numero de punti in cui essa è incontrata da una retta arbitraria, epperò que¬ 
sto numero è eguale alla classe della curva. 11 piano osculatore alla 
curva in p, dicesi tangente alla sviluppabile lungo la genera¬ 
trice mi, perchè contiene le due generatrici consecutive p(i, pp", onde 
ogni retta condotta nel piano è tangente alla sviluppabile ( cioè la incontra in 
due punti infinitamente vicini ) in un punto della generatrice di contatto 
liti'', e reciprocamente ogni retta tangente alla sviluppabile in un punto di 
questa generatrice è situata nel detto piano. Come ogni piano tangente della 
sviluppabile contiene due generatrici consecutive, così ciascuna generatrice è 
situala in due piani tangenti consecutivi; dunque la sviluppabile è ad un lem- 
p. . u°g° delle ta ogen li della erra e l’inviluppo dei piani 
osculatori della medesima. 
Abbiamo dedotto la nozione di sviluppabile da quella di curva ma 
possiamo invece ricavare la curva dalla sviluppabile. Imaginiamo un piano che si 
muova continuamente nello spazio, secondo una tal legge che per un punto arbi¬ 
trariamente preso non passi che un sistema discreto di posizioni del piano 
monile ( ). L inviluppo delle posizioni del piano mobile, ossia il luogo della 
retta secondo la quale si segano due posizioni successive di quello, è ciò che 
si chiama una sviluppabile (**). 
Siano %, jc', n '" -posizioni successive del piano mobile. II piano 
a; contiene le due rette consecutive **',*'*"• I tre piani consecutivi *, ii, W r 
si segheranno m un punto, luogo del quale sarà una certa curva situata nel¬ 
la sviluppabile. Il punto giace nelle due generatrici consecutive mi, 
/V * ™.® versa ,a generatrice V' contiene i due punti consecutivi « 
*„ n ® curva; dunque le generatrici della sviluppabile sono tangenti 
} l P ,ano *" contiene i tre punti consecutivi mi*?, «VV", 
curva ^ ’ dUDqUC * P,aDÌ ta0genti de,,a sviI «PPal>ile sono osculatori alla 
Classe della sviluppabile è il numero de 9 suoi piani tangenti che pas¬ 
sano per un punto arbitrario dello spazio. 
8. Quando il punto generatore della curva passa due volte per una rae- 
ZT r ,Z, ° ne ’ ,n . quesl . a S ’ ÌDcroceraDn ° due rami ( reali o imaginari ) fur¬ 
io dna 0 PV n . t0 doppio (nodo o punto coniugato). S’indichino con a e b 
e due posizioni del mobile che sovrapponendosi formano il punto doppio; 
con a, a i punti consecutivi ad a nel primo ramo, e con V, b”,... i 
*5 0DS f 0t V* , a * second <> ramo della curva. Saranno aa', bb' le rette 
tangenti ed aaa , bbb i p,am osculatori ai due rami nel punto doppio. 
(*) Cioè in modo che tutte le posizioni del piano mobile dipe 
fttniscooo^i^caso particolare! 6 è 0M serie *emplicemenU 
(**) Mobge Application de V analyse à la géométrie § XII. 
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