Teoria delle superficie 
contro sarà un punto doppio per la sezione, perchè questa sarà ivi toccata 
dalle tracce dei due piani che toccano la sviluppabile lungo quelle generatrici 
Queste tracce sono le sole rette che in quel punto abbiano un contatto tri¬ 
punto colla sezione, mentre ogni altra retta condotta nel piano P per lo stesso 
punto incontrerà ivi la sezione medesima in due punti coincidenti. Tutti i pun¬ 
ti analoghi, intersezioni di due generatrici non consecutive, formano sulla svi¬ 
luppabile una curva che, a cagione della proprietà or notata, chiamasi la 
curva doppia o la curva nodale della sviluppabile. La tangente alla 
curva doppia in un suo punto qualunque è evidentemente la retta intersezione 
dei due piani che m quel punto toccano la sviluppabile. 
Dunque una retta condotta ad arbitrio per un punto della curva doppia 
incontra ivi la sviluppabile in due punti coincidenti; ma fra le rette analoghe 
ve ne sono infinite per le quali quel punto rappresenta tre intersezioni riunite, 
e il luogo di esse è costituito dai due piani che toccano la sviluppabile lungo 
le generatrici incrociate in quel medesimo punto. 
Invece, come già si è notato, le rette che toccano la sviluppabile in un 
punto ordinano sono tutte situate in un solo piano ( il piano tangente lungo 
I unica generatrice cha passa per quel punto ) ed hanno colla sviluppabile un 
contatto bipunto. vv 
10. Siano ora 
n 1’ ordine della curva gobba data, 
m la classe della sviluppabile osculatrice, 
r l’ordine di questa sviluppabile ossia la classe della curva gobba; 
g il numero delle rette situate in un piano P (qualsivoglia) per 
ciascuna delle quali passano due piani tangenti della svilnppa- 
bile; aggiuntovi il numero dei piani bitangenti, se ve ne sono; 
x il numero dei punti del piano P per ciascuno de’ quali passano 
due generatrici della sviluppabile, ossia V ordine della curva 
doppia; ed 
a il numero dei piani stazionari. 
Allora la sezione fatta dal piano P nella sviluppabile sarà una cdrva d’ or¬ 
arne r, di classe m, dotata di x punti doppi, « cuspidi a tangenti 
avremo ^ “ Ìnflessioni ; d “ n 1 u «. '» virtù delle formose di Vflc«*, 
m= r(r-t)-2x-3n, 
**’ — m(m — 1) — 2 g — 3 «, 
- *=3r (r — 2) -6*-8n, 
» = 3m (m 2) — 6g — 8a. 
u. &i assuma un punto arbitrario o dello spazio come vertice di un 
cono passante per la data curva gobba (cono prospettivo). Le genera¬ 
trici di questo cono saranno le rette che dal punto o vanno ai punti della 
curva, ed i piani tangenti del cono saranno i piani passanti pel vertice e per 
le tangenti della curva. Un piano condotto per o segherà il cono secondo 
tante generatrici quanti sono i punti della curva situati nello stesso piano; 
dunque 1 ordine del cono è eguale all’ ordine della curva. Per un punto qua¬ 
lunque o dello spazio passeranno tanti piani tangenti del cono quante sono 
le tangenu della curva incontrate dalla retta oó ; dunque la classe del cono 
è esua,e a,,a classe dèlia curva ossia all’ ordine della sviluppabile osculatrice. 
