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Luigi Cremona 
Saranno generatrici doppie del cono le rette congiungenti il punto o ai pun¬ 
ti doppi delia curva ed anche le rette passanti per o ed appoggiate in due punti 
distinti alla curva, perchè in entrambi i casi il cono avrà due piani tangenti 
lungo una stessa generatrice. Saranno poi generatrici cuspidali del cono le 
rette congiungenli il vertice o alle cuspidi della curva. 
Se un piano passante per o è osculatore alla curva, esso sarà stazionario 
pel cono, perchè ne contiene tre generatrici consecutive. Condotta ad arbitrio per 
o una retta nel piano stazionario, questo conta per due fra gli r piani che 
passano per la retta e toccano il cono; ma vi è una retta, la generatrice di 
contatto del piano stazionario, per la quale questo piano conterà per tre (*). 
Dunque se io un piano osculatore della curva conduciamo una retta arbitra¬ 
ria, fra i piani che per questa si possono condurre a toccare la curva il pia¬ 
no osculatore conta per due: ma vi sono infinite rette per le quali il piano 
osculatore conta per tre, e tutte queste rette passano pel punto di oscu¬ 
lazione. 
Se un piano passante per o tocca la curva in due punti distinti (i, v, 
esso toccherà il cono lungo due generatrici 0(i , ov , epperò sarà un piano bi- 
tangenle del cono. Il piano bitangente conta per due fra i piani che toccano 
il cono e passano per una retta condotta ad arbitrio per o nello stesso piano 
bitangente; conta invece per tre, se la retta è una delle due generatrici di 
contatto. Dunque, se in un piano bitangente della curva gobba si tira una ret¬ 
ta arbitraria, quel piano conta per due fra i piani che passano per questa 
retta e toccano la surva; ma conta per tre per le infinite rette che si pos¬ 
sono condurre nel detto piano per 1* uno o per V altro de’ punti di contatto. 
Tutti i piani analoghi, ciascun de’ quali tocca la curva gobba in due 
punti ossia contiene due tangenti non consecutive, inviluppano (7) una svilup¬ 
pabile che dicesi doppiamente circoscritta o bitangente alla cur¬ 
va. Uno qualunque di quei piani tocca questa sviluppabile secondo la retta 
che unisce i due punti di contatto di quel piano colla curva data. 
12. Se adunque si indica con 
h il numero delle rette che da un punto ( arbitrario ) o si possono 
condurre a incontrare due volte la curva gobba data, aggiun¬ 
tovi il numero de’ punti doppi di questa : o in altre parole il 
numero de’ punti doppi apparenti ed attuali della curva ; 
V d numero dei piani che passano per o e contengono due tangenti 
non consecntive della curva, ossia la classe della sviluppabile 
bitangente; e con 
0 il numero delie cuspidi della curva; 
il cono prospettivo di vertice o sarà dell’ordine », della classe r, ed avrà h 
generatrici doppie, (ì generatrici stazionarie, y piani bitangenti ed m piani sta¬ 
zionari. Dunque avremo (3) 
r= n (» — 1) — 2A — 30 , 
»= r (r — t) — 2y — 3m, 
m = 3» (n — 2) — 6A — 80 , 
3r (r — 2) — 6y — 8m. 
