Teoria delle superficie 101 
Le sei equazioni che precedono sono dovute al sig. Cayiey (*). Per mezzo 
di esse, o di altre che se ne possono dedurre, come p. e. le seguenti 
*-0 = 2 (m-n), 
ogniqualvolta si conoscano tre delle nove quantità 
», m, r, a, g, h, x, y, 
si potranno determinare le altre sei. 
Le cose qui esposte mostrano che Io studio delle curve gobbe non può 
essere disgiunto da quello delle sviluppabili. Si può dire che una sviluppabile 
colla sua curva cuspidale forma un sistema unico nel quale sono a con¬ 
siderare punti ( i punti della curva ), rette ( le tangenti della curva ossia le 
generatrici delia sviluppabile ) e piani ( i piani tangenti della sviluppabile ). 
Del resto^ come le proprietà dei coni si ricavano col principio di dualità da 
quelle delle curve piane, così lo stesso principio serve a mettere in correla¬ 
zione le curve gobbe e le sviluppabili ( che non siano coni ), ossia a dedurre 
dalle proprietà di un sistema le cui caratteristiche siano 
m, », r, 0, a , h, g , y, x. 
13. Abbiamo veduto come si determinano le caratteristiche del cono pro¬ 
spettivo alla curva gobba e di una sezione della sviluppabile, quando il vertice 
del cono ed il piano segante sono affatto arbitrari. In modo analogo si pro¬ 
cederebbe se quel punto o quel piano avessero una posizione particolare. Dia¬ 
mo qui alcuni esempi. 
Se il piano segante passa per una retta^ x del sistema, la sezione sarà 
composta di questa e di una curva d’ordine r — 1 . La classe di questa cur¬ 
va sarà m come nel caso generale ; ed n — 2 il numero delle cuspidi perchè 
il piano segante, essendo tangente alla curva cuspidale, la incontrerà in altri 
n — 2 punti. Le formole di Plììcker c’ insegnano poi che la curva-sezione 
ha a -j- 1 flessi, g — 1 tangenti doppie ed x — r -+- 4 punti doppi. Abbiamo 
un flesso di più che nel caso generale, e questo nuovo flesso è il punto g ove 
la retta r tocca la curva cuspidale. Che in g la retta % tocchi la curva- 
-sezione risulta da ciò che g dev’ essere una cuspide per la sezione completa. 
Siccome poi r è V intersezione di due piani consecutivi del sistema, così per 
un punto qualunque di x non passano che m — 2 tangenti della curva-sezione, 
e per g non ne passano che m — 3 (oltre a r); dunque x è una tangente 
stazionaria per la curva medesima. Nel caso attuale la sezione non ha che 
cc — r -b 4 punti doppi, mentre la curva doppia deve avere x punti nel pia¬ 
no segante; gli altri r — 4 punti saranno le intersezioni della retta x colla 
curva-sezione ; dunque una generatrice qualunque di una sviluppabile d’ ordine 
r incontra altre r - ' * ' 
