Teoria delle superficie 
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Analogamente possiamo determinare le caratteristiche dei coni prospettivi, 
ovvero possiamo dedurle dalle precedenti per mezzo del principio di dualità. 
Ci limiteremo ad enunciare i risultati. 
9 il vertice è preso sopra una retta del sistema, il cono prospettivo è 
dell’ ordine n, della classe r — 1 , ha m — 2 generatrici di flesso, ,9 + 1 ge¬ 
neratrici cuspidali, y — r + 4 piani bitangenti ed h — 1 generatrici doppie. 
Donde si vede che una tangente della data curva gobba è una generatrice cu¬ 
spidale pel cono prospettivo che ha il vertice in un punto di quella retta. 
Se il vertice è un punto del sistema, il cono prospettivo è dell’ ordine 
n ~ ’ ^ e * ia c * asse r ~? 9 .^ a m — 3 generatrici di flesso, § generatrici cu- 
spidali, y 2r + 8 piani bitangenti ed h — m + 2 generatrici doppie. Di qui 
s inferisce che in un punto qualunque della data curva gobba s’incrociano 
r 4 generatrici della sviluppabile bitangente, e i relativi piani tangenti pas¬ 
sano per la retta che in quel punto tocca la curva data. Quelle r — 4 ge¬ 
neratrici sono anche situate nel cono prospettivo che ha il vertice nel pio¬ 
to che si considera. 
» j ,?, e ** verl * ce è un P unt0 stazionario (*) del sistema, il cono prospettivo 
è dell ordine n 2, della classe r — 3, ha m—4 generatrici di flesso, 
<9-1 generatrici cuspidali, y-3r+13 piani bitangenti ed h - 2m + 6 
generatrici doppie. Quindi si trova che una cuspide della curva gobba data è 
un punto multiplo secondo il numero r - 5 per lo spigolo di regresso della 
sviluppabile bitangente e i corrispondenti r — 5 piani tangenti di questa svi¬ 
luppabile passano per la tangente cuspidale della curva data. Questa sviluppa¬ 
bile è toccata anche dai piani osculatori della curva data nelle cuspidi. 
14. Per dare un esempio, supponiamo di avere una sviluppabile della 
classe m, ì cui piani tangenti corrispondano projettivamente, ciascuno a ciascuno 
a! punti di una rettaci. Di quale ordine sarà questa sviluppabile ? Assunta una’ 
re a arbitraria/?, per un punto qualunque o di essa passeranno m piani tan¬ 
genti, ai quali corrisponderà un gruppo di m punti 0 in A . Viceversa, assun¬ 
to un punto B in A, a questo corrisponderà un piano tangente che segherà/? 
in un punto o ; e gli altri m — 1 piani tangenti passanti per o determineranno 
gli altri m -- 1 punti del gruppo in A . Ne segue che variando il ponto o in R 
il gruppo dei punti d genererà in A un’ involuzione di grado m, proiettiva alla 
semplice punteggiata formata dai punti * (**). Quell’involuzione ha 2(m^l) 
punti doppi; cioè 2(m — 1) gruppi ciascun de’quali contiene due punti 6 coin¬ 
cidenti. Ad uno qualunque di questi gruppi corrisponderà in /? un punto pel 
quale due degli m piani tangenti coincideranno, cioè un punto che apparterrà 
o ad un piano stazionario, o all’ intersezione di due piani tangenti consecutivi 
cioè alla sviluppabile. Avremo dunque 
Poi dalle forinole di Cayley si trae ^ 
» = 3(m-2)-2«, 
$ ~ 4 (m — 3) — Za , 
ogni piano 
(**)i 
; è un punto (r)pio della 
i solamente in altri n—r 
