Teoria delle superficie 
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ai due rami di L ) che hanno in y un contano tripunto con L c quindi an¬ 
che colla superficie. Si chiameranno le rette osculatrici nel puntoci* (**) ). 
Ogni piano condotto per una di queste rette taglierà la superficie secondo una 
" colla retta stessa, vale a dire una cur¬ 
va avente il i 
per flesso e la 
per tangente stazionaria. 
Le due rette osculatrici sono reali o imaginarie secondochè (i sia per L 
un vero nodo o un punto coniugato. Nel primo caso y dicesi punto iper¬ 
bolico, nel secondo punto ellittico. Se y è una cuspide per la curva 
^j le <iUe ^ Ue oscu,alrici coincidono i n una so la, e ^ dicesi pilDl0 para _ 
In generale, tutte le rette tangenti alla superficie nel punto y giacciono 
nel piano RR' , cioè una retta condotta per y fuori di questo piano ha ivi in 
generale un solo punto comune colla superficie (***). Ma se altrimenti fosse 
per una retta così fatta R", lo stesso avrebbe luogo per qualunque altra ret- 
ta R" passante per y, In fatti, se R' r ha in y un contatto bipunto colla su¬ 
perficie, il piano R!'R"' segherà questa secondo una linea toccata in y da R" 
e dalla intersezione de’due piani R" R"\ RR', epperò anche da R" ; dunque, 
in quell ipotesi, tutte le rette condotte per y avrebbero ivi un contatto bipunto 
colla superficie, e tutti i piani per y segherebbero la superficie secondo una 
curva avente in y un punto doppio. La qual cosa non può verificarsi che per 
le rette che toccano la ! 
punti singolari della superficie 
Il piano RR', nel quale sono contenute tutt 
perfide in un pun to ordinario p, dicesi piano' tangente alla su¬ 
perficie in y. Dunque un piano tangente ad una superficie in un punto 
qualunque taglia questa secondo una linea avente due rami ( reali o no ) in¬ 
crociati nel punto di contatto (j*). 
Si P«b anche dire che il piano tangente alla superficie in y è il luogo 
delle rette che toccano ivi le curve tracciate sulla superficie. 
Classe della superfìcie è il numero dei piani tangenti che le si posso¬ 
no condurre per una retta data ad arbitrio nello spazio. 
17. Quando tre rette ( non situate in uno stesso piano) e per conseguenza 
tutte le rette passanti per p incontrano ivi la superficie in due punti coincidenti, 
il punto y dicesi doppio per la superficie medesima. Ogni piano condotto per 
esso sega la superficie secondo una curva avente ivi un punto doppio ; le tan¬ 
genti ai due rami hanno colla curva un contatto tripunto; perciò vi sono infinite 
rette che hanno nel punto doppio y un contatto tripunto colla superficie, e il 
luogo delle medesime è un cono di second’ordine (1). Ogni pia no tangente a 
questo cono segherà la superficie data secondo una curva cuspidata in y . Di- 
. mostreremo io seguito esservi sei generatrici di questo cono, ciascuna delle 
quali ha m y un contatto quadripunto colla superficie. 
(*) Inflexional tangentu se 
le osculatrici per ciascuno de’su 
(**) In una sviluppabile { cera 
