Teoria delle superficie 
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Il teorema non è applicabile quando ro = 1 ed n" — 1. Per es. una 
sviluppabile d’ ordine r è toccata da un suo piano tangente lungo una gene¬ 
ratrice e segata dal medesimo secondo una curva d’ ordine n — 2, che tocca 
la generatrice in un punto o e la sega in altri n - 4 punti. Un altro piano 
passante per la generatrice segherà la sviluppabile secondo una curva d’ ordine 
n — 1, che in o avrà » — 1 — (»— 4) punti comuni colla generatrice, cioè 
questa curva sarà osculata dalla generatrice ; come già si è veduto altrove (13). 
23. Dicesi di second’ordine o quadrica una superficie (16) quando 
una retta arbitraria la incontra in due punti ( reali, imaginari, distinti, coinci¬ 
denti ), ossia quando un piano arbitrario la sega secondo una conica o linea 
di second’ ordine ( reale o imaginaria ). 
Se una retta ha tre punti comuni colla superficie, giacerà interamente in 
questa; dunque la superficie contiene per intero le due rette che la osculano 
in un punto qualunque p (16); e queste rette formano 1’ intersezione della 
superficie col piano tangente in fi, perchè una linea di second’ordine dotata 
di punto doppio si risolve necessariamente in due rette GG' (reali, imagina- 
auppomamo da prima le rette GG' coincidenti, nel quale caso il piano 
sarà tangente alla superficie in tutti i punti della retta G. Un altro piano 
condotto per G segherà la superficie secondo una nuova retta che incontrerà 
la prima in un punto d, il quale sarà doppio per la superficie, perchè questa 
è ivi toccata da entrambi i piani (17). Ma una superficie di second’ordine do¬ 
tata di punto doppio è un cono col vertice in questo punto (18); e per ogni 
suo punto fi avrà luogo la coincidenza delle rette GG'. Donde s’ inferisce che, 
se una quadrica ha un punto parabolico, tutti gli altri suoi punti sono pure 
parabolici, e la superficie è un cono. 
24. Ora le rette GG', relative al punto ft, siano reali e distinte. Un 
C00d r, PCr 3 reUa G e per un punl ° arbitrario * della superficie se¬ 
gherà questa lungo una nuova retta H' passante per a-; e il piano tangente 
in v siccome contiene già la retta H', così conterrà un’altra retta tf pas- 
f per * e . s, ! uala . nel,a superficie. Dunque, se una quadrica ha un punto 
ima rprrW lUU | \ 8001 punt * sono *P er DoIici. Ossia, se una quadrica contiene 
un ella ( reale ), ne contiene infinite altre, ed eccettualo il caso che la su¬ 
per eie sia un cono, ne passano due per ciascun punto di essa, 
noririon!^; T* dianzi ’ 8 irare un P ia no intorno alla retta G, per ciascuna 
posizione di questo avremo una retta ZT, la quale incontrerà G in un punto 
ove i piano è tangente alla superficie. Questo punto non è mai lo stesso per 
due posizioni del piano, ossia per due rette ; perchè la superficie, non es¬ 
sendo un cono, non può ammettere tre rette situate in essa e concorrenti in 
uno stesso punto. Da ciò che due rette ff incontrano G in punti diversi, segue 
che esse non possono mai raifo™ in .,nr» _° 
... r ( rT° Cad T e UD0 stess0 P' af ">- Diremo che tolte que- 
sic rette Jl£ ( tra le /fno ^ 1 ^ onoitA -j& \ _ • . i. * 
trici rettilinee , 
è anche G') formano un sistema di gene 
