Luigi Cremona 
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Ed anche le rette interserioni dei piani corrispondenti di due fasci proiet¬ 
ti,! formano nna superficie di second’ ordine. Perchè nn piano arbitrano seghe¬ 
rà i piani de’ due fasci secondo rette formanti due stelle proiettive, 1 raggi 
corrispondenti delle quali intersecandosi formeranno una curva di second ordine; 
cioè la superficie di cui si tratta è segata da un piano qualunque lungo una 
curva di second’ ordine (*). . . ,. 
Se le due rette date, nelle quali sono le due sene projettive di punti 
o per le quali passano i due fasci proiettivi di piani, giacciono in uno stesso 
piano, la superficie generata sarà un cono quadrico avente il vertice nel punto 
comune alle rette date (6). . .... 
27. Se da un punto o fissato nello spazio come polo si tiri una tras¬ 
versale qualunque ad incontrare una data superficie quadrica in due punti afa, 
e si prenda il ponto m coniugato armonico dì o rispetto ad afa, quale sarà 
il luogo dei punti m corrispondenti a tutte le trasversali che escono da 
o? Ogni trasversale contiene un solo punto m; e questo punto non può 
mai cadere in o, finché o si supponga non situato nella superficie. Dunque 
il luogo cercato è di prim’ ordine, ossia un piano. Lo chiamano il piano 
polare del polo o (**). ... . . 
Se il punto o è preso sulla superficie, una delle intersezioni afa coinci¬ 
derà col polo; onde per tutte le trasversali che incontrano la superficie in 
un secondo punto distinto da o, il coniugato armonico m cadrà in o. Ma se 
la trasversale diviene tangente in o alla superficie, allora, coincidendo insieme 
il polo e i due punti afa, il punto m diviene indeterminato e può essere 
uno qualunque della trasversale (***) ; cioè il luogo del punto m sarà il 
luogo delle rette che toccano in o la superficie. Dunque, se il polo è un 
punto della superficie, il piano polare è il piano che la tocca in questo 
punto. Viceversa un punto non può giacere nel suo piano polare senza essere 
un punto della superficie. 
Se nella trasversale che contiene i quattro punti orna fa si considera 
m come polo, il punto coniugato armonico sarà o; cioè se il piano polare 
di o passa per m, viceversa il piano polare di m passerà per o. Onde, se 
è dato un piano e si prendono i piani polari di tre suoi punti, il punto ove 
concorrono questi tre piani sarà il polo del piano dato. 11 quale non potrà mai 
avere due poli diversi o { , o. 2 (f); perchè se la retta ofa incontra la qua¬ 
drica in a t a 2 ed il piano in m, il punto m non può avere due diversi punti 
coniugati armonici rispetto alla stessa coppia afa. 
Così avviene che ogni punto dello spazio ha il suo piano polare e vice¬ 
versa ogni piano ha il suo-polo. Tutt’i punti che giacciono in un piano fisso 
hanno i loro piani polari passanti pel polo del piano fisso, e tutti i piani 
passanti per un punto fisso hanno i loro poli nel piano polare del punto 
I doppio. Vedi la prima nota all'art. 30. 
