Teoria delle superficie 
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28. Siano M, N i piani polari di due ponti m, ». Ciascun punto del- 
la retta MN, essendo situato in entrambi i piani M, N, avrà il suo piano 
polare passante per m e per n, cioè per la retta mn ; dunque il luogo di un 
punto i cui piani polari passino per una retta fissa mn è un’ altra retta MN. 
Il piano polare di un punto qualunque di MN passa per ogni punto della mn-, 
dunque il piano polare di qualunque punto della mn passerà per la retta MN', 
ossia le rette mn , MN sono così tra loro connesse che ciascuna contiene i 
poli dei piani passanti per 1’ altra e giace nei piani polari dei punti dell’ al¬ 
tra. Due rette aventi tra loro questa relazione diconsi coniugate o reci¬ 
proche rispetto alla quadrica, ovvero anche polari P una dell'altra. 
Ogni retta ha la sua coniugata. Se una retta R passa per un punto m, 
la coniugata R' giacerà nel piano M polare di m, e viceversa (*). Dunque 
tutte le rette passanti per m hanno per coniugate tutte le rette del piano M ; 
per conseguenza due rette coniugate non possono essere insieme in un piano 
M senza passare tutte e due pel polo m. Ma in questo caso m è un punto 
della superficie, M è il piano tangente; e le due rette coniugate sono en¬ 
trambe tangenti alla superficie. Viceversa, se una retta tocca la quadrica in m, 
la coniugata sarà nel piano M tangente io m; e siccome la prima retta gia¬ 
ce anch' essa in M, la seconda passerà pur essa per m ; cioè le due rette 
saranno tangenti alla superficie nello stesso punto. Dunque una retta in gene¬ 
rale non incontra la sua coniugata ; ma se ha luogo l’incontro, le due rette 
sono tangenti in uno stesso punto alla superficie. 
Le rette tangenti in m alla superficie sono coniugate a due a due, epperò 
formano un’ involuzione ( di secondo grado (**) ). Questa avrà due raggi dop¬ 
pi, cioè vi sono fra quelle tangenti due rette coniugate a sè medesime. Una 
retta coniugata a sè stessa è situata nei piani polari de’ suoi punti, cioè ha 
tutt ì suoi punti giacenti ne’ rispettivi piani polari epperò nella superficie; 
vale a dire, una retta coniugata a sè stessa è necessariamente una retta 
situata nella superficie. Dunque i raggi doppi dell’ involuzione formata dalle 
tangenti coniugate in m sono le rette della superficie incrociate in m. Ne ri¬ 
sulta che due tangenti coniugate formano sistema armonico colle rette della 
superficie incrociate nel punto di contatto. 
Se la quadrica è un cono^ i due raggi doppi dell’ involuzione coincidono 
nella generatrice che passa pel punto che si considera. Questa generatrice è 
coniugata non solo a sè stessa, ma anche a qualunque retta tangente al cono 
in un punto di essa. 
29. Cerchiamo ora di qual classe (16) sia una superficie di second’ ordine. 
I piani tangenti, passanti per una retta data R, avranno i loro poli (i punti 
di contatto) sulla retta coniugata R r ; dunque tanti sono i piani che per R 
