Teoria delle superficie 
117 
nperficle di classe qualunque. Polari reciproche. 
31. Sia p un punto qualunque di una data superficie, M il piano tangente 
in quel punto ; e pp^ > > ^3 siano punti successivi in questo piano, in 
tre diverse direzioni, cioè pp { , pp$ 9 pp z siano tre tangenti in p. Se si fa 
passare pei punti p , p i , p^ una superficie di second’ ordine, questa sarà toccata 
in p dal piano M, epperò essa conterrà anche il punto p z , qualunque sia la 
direzione pp z (nel piano M), cioè le due superficie avranno in p il piano 
tangente comune. Suppóngasi ora che la superficie data venga segata da un 
piano passante per pp i , da un altro piano per pp % e da un terzo piano per 
PPs, in modo che ne risultino tre curve, nelle quali siano p r { , p\, p\ ì pun¬ 
ti consecutivi a pp l9 pp ì9 pp z . Allora, se si imagina che 1’auzidetta° quadri- 
ca sia obbligata a passare anche pei punti p \, p \, p ' z , ] e due superficie si 
osculeranno in p, cioè le sezioni delle medesime,, ottenute con un piano con¬ 
dotto ad arbitrio per p , avranno ivi un contatto tripunto (19), e in particolare 
le rette osculatrici alia superficie qualsivoglia giaceranno per disteso nella qua- 
drica. Per conseguenza, le due superficie avranno il piano tangente comune, 
non solamente in p , ma anche in ciascuno de’punti p l9 p% 9 p Z9 ... imme¬ 
diatamente consecutivi a p. Quindi, come avviene per la superficie qiiadrica, 
così anche per la superficie qualsivoglia ogni retta tangente in p sarà P in¬ 
tersezione di due piani tangenti consecutivi, i cui punti di contatto saranno 
situati in un’ altra tangente ; e viceversa nei due punti consecutivi comuni alla 
prima tangente ed alla superficie, questa sarà toccata da due piani passanti 
per la seconda tangente. Cioè le tangenti in p alla superficie qualsivoglia sono 
coniugate a due a due per modo che di due coniugate ciascuna contiene 
1 punti di contatto de’ due piani tangenti consecutivi che passano per P al¬ 
tra (*). Le coppie di tangenti coniugate formeranno un’ involuzione i cui raggi 
saranno le rette della quadrica, cioè le osculatrici della superficie qual- 
Se p è un punto parabolico per la data superficie, ivi coincideranno le 
due rette osculatrici, epperò la quadrica osculatrice sarà un cono. In p e nel 
punto p successivo a p nella retta osculatrice (cioè nella generatrice del cono) 
le due superficie hanno il piano tangente comune; ma il cono è toccato in 
P e in p ' dallo stesso piano; dunque il piano che tocca in p la superficie 
data la tocca anche in p . Un piano tangente in un punto parabolico è dun¬ 
que da riguardarsi come un piano tangente in due punti infinitamente vicini; 
a cagione della quale proprietà dicesi piano stazionario. Siccome in 
questo caso ogni tangente in p è coniugata alla retta osculatrice, così il piano 
nna nnmia nnn»A __ _^ _ .. 
tangente in qualunque punto consecutivo a p passerà per quest’ ultima retta (**). 
5>e due superficie si toccano in un punto p 9 le loro tangenti coniugate 
formeranno due involuzioni, e siccome queste hanno una sola coppia di raggi 
(*) Dow» Développements p. 44. 
(**) Salmon On thè condition thc 
3; 1848) p. 45. 
