Luigi Cremona 
118 
coniugati comuni (*), così le due superficie avranno in generale una sola cop¬ 
pia di tangenti coniugate comuni. Che se vi fossero due coppie di tangenti con¬ 
iugate comuni, le due involuzioni coinciderebbero; ogni tangente avrebbe la 
stessa coniugala rispetto ad entrambe le superficie, alle quali per conseguenza 
sarebbero comuni anche le rette osculatrici. 
32. S’imaginino ora tutte le rette che da un dato punto e dello spazio 
si possono condurre a toccare una superficie data qualsivoglia, sulla quale i 
punti di contatto formeranno una certa curva. Se y, y sono due punti con¬ 
secutivi di questa, le rette oy, yy' , essendo tangenti coniugate per la qua- 
drica osculatrice in y, saranno tali anche per la superficie qualsivoglia. II piano 
che tocca in y questa superficie, toccherà lungo oy il cono che le è circo- 
scritto, cioè il cono formato dalle tangenti condotte da o. Questo cono è 
dunque l'inviluppo dei piani che si possono condurre per o a toccare la su¬ 
perficie. 
33. Le cose suesposte mostrano che una superficie d’ ordine qualunque 
può anche essere definita come inviluppo de' suoi piani tangenti. Un invi¬ 
luppo si può riguardare come generato da un piano che si muova conti¬ 
nuamente nello spazio secondo una legge tale che una retta arbitraria giaccia 
in un numero discreto di posizioni del piano variabile (**). La superficie-invi¬ 
luppo dicesi della classe n (***) quando per una retta arbitraria passano n 
de’ suoi piani ( reali, iniaginari, ecc. ). Onde se per una retta passassero più 
di n piani tangenti ad una superficie della classe n, tuli 9 i piani passanti per 
la medesima retta apparterrebbero all’ inviluppo, cioè la retta giacerebbe per 
intero nella superficie. 
L’inviluppo di prima classe è un semplice punto. 
1 piani tangenti d’ una superficie di classe n che passano per un punto 
fisso inviluppano un cono circoscritto della stessa classe. 
Si dirà che una retta è tangente alla superficie in un piano M (tan¬ 
gente alla superficie medesima ), quando due dei piani tangenti passanti per 
essa coincidono in j|f. Siano R, R r due rette tangenti nel piano jlf, e il 
punto y ad esse comune si consideri come vertice di un cono circoscritto. 
Siccome due de’ piani tangenti che si possono condurre al cono per R o per 
K coincidono in M, così questo è un piano bitangente del cono e rappresenta 
due piani tangenti ( al cono e quindi anche alla superficie ) consecutivi per 
qualunque altra retta condotta per y nel detto piano; cioè tutte queste rette 
saranno tangenti nel piano M alla superficie. Donde risulta che le rette le 
quali toccano la superficie nel piano M ( cioè le rette per le quali M rappre¬ 
senta due piani tangenti consecutivi) passano per uno stesso punto y , che 
dicesi punto di contatto del piano M colla superficie. Fra quelle rette 
ve ne sono due, le generatrici di contatto del cono col piano bitangente, per 
le quali M rappresenta tre piani tangenti consecutivi. Le tangenti poi saranno con- 
1827-28) 
