Teoria delle superficie 
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iugate a due a due,, in modo che di due coniugate ciascuna contenga i punti di 
contatto de’ piani tangenti consecutivi che passano per 1* altra. E i raggi dop- 
. pi dell’ involuzione formata da queste coppie di tangenti saranno le rette per 
le quali M rappresenta tre piani tangenti consecutivi. Ossia, queste rette sono 
le stesse che hanno in fi un contatto tripunto colla superficie (16). 
34. Per tal modo una superfìcie qualunque può essere considerata e co¬ 
me luogo di punti e come inviluppo di piani. Applicando le con¬ 
siderazioni precedenti ad una superficie di seconda classe ( una superficie alla 
quale si possano condurre due piani tangenti per una retta arbitraria ), tro¬ 
viamo che i piani tangenti che passano per un punto p della superficie invi¬ 
luppano un cono di seconda classe dotato di un piano bitangente Af; ossia 
quei piani passano per due rette G, G' incrociate in ^ e situate nel piano M 
che tocca ivi la superficie (5). Ciascuna di queste rette, essendo posta in in¬ 
finiti piani tangenti, giacerà per disteso nella superficie. 
Un piano condotto ad arbitrio per G sarà un piano tangente alla super¬ 
ficie e quindi segherà questa secondo una nuova retta ff . Similmente ogni 
piano passante per G’ conterrà un* altra retta H della superficie. In questa esi¬ 
stono adunque due sistemi di rette generatrici ( G , H , ...)_, ( Gl , E ’, ... ) ; 
e per ciascun punto della superficie passa una retta dell’ uno ed una retta 
dell’ altro sistema. 
Di quale ordine è la superficie? Ciò equivale a domandare quante gene¬ 
ratrici di uno stesso sistema sono incontrate da una retta arbitraria. Per que¬ 
sta retta passano due soli piani tangenti, cioè due soli piani ciascun de’ quali 
contenga una generatrice del sistema; dunque una superficie di seconda classe 
è anche di second’ ordine. 
In un piano arbitrariamente dato 0 si tiri comunque una trasversale, per 
la quale passeranno due piani A { A^ tangenti ad una data quadrica ( superficie 
di seconda classe e second’ ordine ) ; sia poi Af il piano coniugato armonico 
di O rispetto ad A { A^. Siccome per ogni posizione della trasversale non si 
ha che un solo piano M, e siccome Af non può. coincidere col piano O, sup¬ 
posto che questo non sia tangente alla superficie, così l’inviluppo di tutti i 
piani analoghi ad Af è di prima classe, ossia tutti quei piani passeranno per 
un punto fisso o. 
Se la trasversale è condotta in modo che tocchi la superficie in un pun¬ 
to a ( della sezione fatta dal piano 0), i piani A { A^ coincideranno in un so¬ 
lo, cioè nel piano A tangente in a; epperò anche il piano Af coinciderà 
con A . Dunque i piani che toccano la superficie ne’ punti della sezione fattavi 
dal piano Q passano tutti per o. Ne segue che o è il polo del piano 0 se¬ 
condo la definizione data altrove (27). 
35. Ciascuno avrà notato che il ragionamento corre qui affatto parallelo 
a quello che si è tenuto per la superficie considerata come luogo di ponti, e 
tuttavia senza che 1* una investigazione presupponga necessariamente l’altra. 
Ciò costituisce la legge di dualità geometrica, in virtù della quale 
accanto ad una proprietà relativa a punti, rette, piani, ne sussiste un’ altra 
